Calculus

Calculus

Dette kursus bygger i høj grad videre på pensummet i gymnasiet. Det er derfor vigtigt at have godt styr på dette stof. Hvis I har brug for at få det repeteret, kan Rob Ghrists Coursera-kursus 'Calculus 1 variabel' være en god hjælp suppleret med at regne gamle opgaver fra gymnasiet (se forslag til hvilke under 'Genopfriskningsopgaver').

Litteratur

I Calculus-kurset bruger vi et SAMPAK AF TO BØGER. Nemlig:

  • MN: An Introduction to Complex Numbers and Differential Equations", Second Edition, Compiled by Morten Nielsen, Pearson
  • E&P: "Calculus: Early Transcendentals", Seventh Edition, Edwards and Penny, Pearson

Ovenstående SAMPAK har ISBN-nummer 9781784499075 og kan købes i boghandelen (tidligere var det ISBN-nummer 1-783-99028-7). Compilation af Morten Nielsen kan IKKE købes løs.

Herforuden benyttes følgende materiale:

  • Henrik Vie Christensen og Bo Rosbjerg, Kompendium i calculus.
  • Henrik Vie Christensen og Bo Rosbjerg, Kompendium i komplekse tal og differentialligninger.
  • Tabel over integraler.

Eksamen

Calculus gennemføres i efterårssemestret og har et omfang på 22 lektioner (5 ECTS). Af disse 22 skemalagte lektioner er der lærerdækning på de 18 og de resterende 4 lektioner er selvstudie på gruppebasis dog med hjælpelærerdækning. Bemærk, at materialet fra disse 4 selvstudiegange også indgår i pensum. Evalueringsformen er en 4 timers digital, skriftlig prøve (uden brug af elektroniske hjælpemidler). Der gives karakter efter 7-trinsskalaen. Bemærk at Byggeri & Anlæg i Aalborg samt Maskin & Produktion i Aalborg følger en anden eksamensform.

Se også fanen Eksamensinformation.

Afleveringsopgaver

Der stilles skriftlige opgaver i kurset. Findes éns studie på listen herunder, er det en forudsætning for deltagelse i eksamen, at man får godkendt mindst 10 ud af 18 afleveringer. Opgaverne er af et omfang, som svarer til at en besvarelse ca. fylder en håndskrevet A4-side.

Er studiet ikke på listen, kan man stadig aflevere skriftlige opgaver og få dem rettet.

Afleveringsopgaverne til hver kursusgang findes under Opgaver .

  • Applied Idustrial Electronics (Esbjerg)
  • Biologi (Aalborg)
  • Bioteknologi (Aalborg)
  • Bygge- og anlægskonstruktion (Esbjerg)
  • Byggeri og anlæg (Esbjerg)
  • Bæredygtig energiteknik (Aalborg)
  • Chemical Engineering and Biotechnology (Esbjerg)
  • Eksportteknologi (Aalborg)
  • Energi (Aalborg)
  • Energi (Esbjerg)
  • Energy engineering (Aalborg)
  • Fysik (Aalborg)
  • Globale forretningssystemer (Aalborg)
  • Kemi (Aalborg)
  • Kemi og bioteknologi (Aalborg)
  • Kemi og bioteknologi (Esbjerg)
  • Kemiteknologi (Aalborg)
  • Manufacturing and Operations Engineering (København)
  • Maskinkonstruktion (Esbjerg)
  • Maskinteknik (Aalborg)
  • Maskinteknik (Esbjerg)
  • Matematik (Aalborg)
  • Matematik-teknologi (Aalborg)
  • Matematik-økonomi (Aalborg)
  • Miljøvidenskab (Aalborg)
  • Nanoteknologi (Aalborg)
  • Sustainable Biotechnology (København)

Opgaver

Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få. Der er ofte ganske mange opgaver til hver kursusgang, så det anbefales at man begynder med de prioriterede opgaver, der er markeret med fed. Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7. forelæsning skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til 1. forelæsning. Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver.

Plan for Calculus.

Litteratur:

E&P - Edwards and Penney: Calculus - Early Transcendentals. 7th edition. Prentice Hall.

MN - An Introduction to Complex Numbers and Differential Equations", Second Edition, Compiled by Morten Nielsen, Pearson.

Lektion 1: Trigonometriske funktioner.

Materiale: Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.

Forelæsning: Introduktion til Calculus. Derefter gennemgang af Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.


Opgaver:

Appendix C, A13-A17:

Omregning mellem vinkelmål: 1, 3, 5, 7, 9.
Periodiske egenskaber ved trig. funktioner: 15, 20.
Trigonometriske identiteter: 26
Evaluering af trigonometriske funktioner: 29, 33
Additionsformler: 37
Trigonometriske ligninger: 43, 47.

Section 6.8, side 496-498 i E&P.

True/false study guide, 1-8.
Differentiation af inv. trig. funktioner: 5, 6, 17.
Integration af inv. trig. funktioner: 31, 35.

Afleveringsopgaver:

  • A: 20, 43 i appendiks C; 5, 31 i afsnit 6.8
  • B: 15, 43 i appendiks C; 5, 31 i afsnit 6.8

Lektion 2: Polære koordinater.

Materiale: Section 9.2 E&P.

Forelæsning: Gennemgang af Section 9.2 E&P. Emnet er polære koordinater.

Tilhørende pencasts: polaere_koordinater-1-2.pdf, polaere_koordinater-2-2.pdf

Opgaver:
Section 9.2 true/false study guide, s. 670.

Section 9.2:

Omregning mellem polære og retvinklede koordinater: 1(a)(b)(c)(f), 2(a)(e)(f).
Konvertering af ligninger fra retv. til polære koord.: 3, 6, 7.
Konvertering af ligninger fra polære til retv. koord.: 11, 13, 17.
Bestemmelse af en kurves ligning i polære koord.: 21, 27.
Ekstra opgaver fra 9.2: 29, 31, 39, 41, 53, 63.

Section 6.8, side 496-498 i E&P.

Resterende opgaver fra 1. kursusgang.

Afleveringsopgaver:

  • A: 7, 11, 13, 21 i afsnit 9.2
  • B: 2.f, 7, 21 i afsnit 9.2

Lektion 3: Kurver og bevægelse i rummet .

Materiale: Section 11.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.5 E&P. Emnet er parametrisk beskrivelse af kurver i rummet. I den forbindelse kan man berøre dele af Section 9.4 vedrørende plane kurver.

Tilhørende pencasts: parametriserede_kurver.pdf

Opgaver:

Section 11.5, True/false study guide, s. 861
Section 11.5:

Parametriske kurver: 1,9.
Bestemmelse af hastighed- og accelerationsvektor: 13, 15.
Integration af parametriske kurver: 17.
Regneregler for differentiation af vektorfunktioner: 21, 23.
Hastighed, fart og acceleration af partikel: 35.
Projektilbaner: 43, 45. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig 1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665 m / s2.

Dernæst: opgaver fra tidligere.

Afleveringsopgaver:

  • A: 1, 11, 13, 21 i afsnit 11.5
  • B: 13,23 i afsnit 11.5

Lektion 4: Buelængde og krumning.

Materiale: Section 11.6 (til s. 869 midt) i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.6 (til s. 869 midt) i E&P. Emnerne er buelængde og krumning for plane kurver.

Tilhørende pencasts: krumning_af_plan_kurve.pdf

Opgaver:

Section 11.6:
Beregning af kurvelængde: 1, 3, 5.
Beregning af krumning: 7, 9 ,10, 11.
Bestemmelse af tidspunktet for den maksimale krumning: 15, 16.
Bestemmelse af tangent- og enhedsnormalvektoren: 17, 19.
Bestemmelse af krumningscirclen: 29.

Afleveringsopgaver:

  • A: 1, 7, 11, 15 i afsnit 11.6
  • B: 1, 9 i afsnit 11.6

Lektion 5: Introduktion til funktioner af flere variable.

Materiale: Section 12.1, 12.2 og evt. noget af 12.3 i E&P.
Forelæsning: Introduktion til teorien for funktioner af flere variable. Gennemgang af afsnittene 12.1, 12.2 og evt. noget af 12.3 i E&P.
Opgaver:

Section 12.2, True/false study guide, s. 907.
Section 12.2:
Bestemmelse af definitionsmængde: 1, 3, 5, 7, 8.
Beskriv grafen for en given funktion: 22, 25, 29.
Beskriv niveaukurver for en given funktion: 41, 44.
Match graf og niveaukurver: 53, 54, 55, 56, 57, 58.

Section 12.3:
Grænseværdier og kontinuitet: 1,5.
Undersøg om grænseværdi eksisterer: 21, 43.

Afleveringsopgaver:

  • A: 7, 29, 41 i afsnit 12.2; 4, 43 i afsnit 12.3
  • B: 3, 25, 41 i afsnit 12.2

Lektion 6: Partielle afledede.

Materiale: Section 12.4 i E&P
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.4 i E&P. Emnet er partielle afledede.
Tilhørende pencasts: partielle_afledede.pdf, tangentplan.pdf

Opgaver:
Section 12.4, side 927-931 i E&P. True/false study guide.

Beregning af partielle afledede: 1, 3, 5, 15.
Blandede partielle afledede og relationen zxy = zyx: 21, 25.
Bestemmelse af tangentplan: 31, 38.
Eksistens af funktioner med givne partielle afledede: 41, 43.
Indsæt funktion i partiel differentialligning: 55, 58 (brug gerne Maple).


Afleveringsopgaver:

  • A: 5, 21, 31 i afsnit 12.4
  • B: 3, 21, 31 i afsnit 12.4

Lektion 7: Optimering.

Materiale: Section 12.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.5 i E&P. Emnerne er optimering.
Tilhørende pencasts: optimering-1-2.pdf, optimering-2-2.pdf

Opgaver:
Section 12.5, True/false study guide, s. 939.
Section 12.5:
Find vandret tangentplan: 3, 5, 9.
Find det "højeste" eller "laveste" punkt på en flade: 13.
Find maks og min for en given function: 23, 25, 27.
Minimer materialeomkostninger: 41, 47 ("girth"=korteste omkreds).

Afleveringsopgaver:

  • A: 9, 25 i afsnit 12.5
  • B: 21, 23 i afsnit 12.5

Lektion 8: Kædereglen.

Materiale: Section 12.7 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.7 i E&P. Emnet er kædereglen.
Tilhørende pencasts: kaedereglen_1-2.pdf, kaedereglen_2-2.pdf, implicit_differentiation.pdf

Opgaver:
Section 12.7 true/false study guide, s. 959.

Section 12.7:
Benyt kædereglen til at udregne partielle afledede: 1, 3.
Nedskriv kædereglen i given situation: 13.
Implicit differentiation: 19, 21, 23.
Kædereglen og partielle differentialligninger: 40, 43.


Afleveringsopgaver:

  • A: 1, 21 i afsnit 12.7
  • B: 1, 19 i afsnit 12.7

Lektion 9: Den retningsafledede og gradientvektoren.

Materiale: Section 12.8 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.8 i E&P. Emnerne er den retningsafledede og gradientvektoren.

Tilhørende pencasts: gradientvektor_og_ligning_for_tangentplan.pdf, retningsafledede.pdf

Opgaver:
Section 12.8 true/false study guide, s. 970.

Section 12.8, s. 971.
Bestem gradientvektoren: 3, 5.
Find den retningsafledede: 11, 15.
Find den maksimale retningsafledede: 21, 23.
Find tangentline/plan til kurve/flade: 29, 31, 33.
Find tangentlinjen til keglesnit: 41.


Afleveringsopgaver:

  • A: 11, 21, 33 i afsnit 12.8
  • B: 5, 21, 29 i afsnit 12.8

Lektion 10: Integration af funktioner af to variable.


Materiale: Section 13.1 og noget af 13.2 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.1 og noget af 13.2 i E&P. Emnet er integration af funktioner af to variable.
Tilhørende pencasts: dobbeltintegral_rektangel.pdf

Opgaver:
Section 13.1 true/false study guide, s. 1003.

Section 13.1:
Evaluer itererede integraler: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 31. Riemann sum: 37.

Gamle opgaver fra 12.8 ( 21, 23, 29, 31).


Afleveringsopgaver:

  • A: 15, 19, 37 i afsnit 13.1
  • B: 11, 15, 19 i afsnit 13.1

Lektion 11: Mere om integration af funktioner af to variable.

Materiale: Resten af section 13.2 og section 13.3 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af resten af section 13.2 og section 13.3 i E&P. Emnerne er integration af funktioner af to variable, samt anvendelse til beregning af areal og volumen.
Tilhørende pencasts: dobbeltintegral_simpelt_omraade.pdf, dobbeltintegral_trekant.pdf

Opgaver: Section 13.3 true/false study guide, s. 1017.

Section 13.2:
Evaluer itererede integraler: 3, 7 13.
Evaluer planintegralet over givet område: 19.
Skift integrationsrækkefølge i dobbeltintegrale: 31, 33.

Section 13.3:
Arealbestemmelse ved planintegrale: 3, 5, 9.
Find volume af legeme afgrænset af flader: 11, 15.
Find volume af legeme afgrænset af (mere komplicerede) flader: 31, 42.

Afleveringsopgaver:

  • A: 19, 31 i afsnit 13.2; 11 i afsnit 13.3
  • B: 31 i afsnit 13.2; 11 i afsnit 13.3

Lektion 12: Planintegralet i polære koordinater.

Materiale: Section 13.4 i E&P.


Forelæsning: Gennemgang af Section 13.4 i E&P. Emnet er dobbeltintegraler i polære koordinater.
Tilhørende pencasts: integration_over_polaert_rektangel-1-2.pdf, integration_over_polaert_rektangel-2-2.pdf, areal_af_polaer_rose.pdf

Opgaver:
Section 13.4 true/false study guide, s. 1025.

Section 13.4:
Udregn areal af område afgrænset af polære kurver: 1, 3, 4.
Udregn volume af legeme vha. planintegralet i polære koord.: 9, 11 (regnes først) samt 29, 33 (mere udfordrende).
Skift til polære koordinater i planintegrale: 13, 15.

Section 13.3:
Udregn volumen af diverse legemer: 29, 35.


Afleveringsopgaver:

  • A: 1, 9, 13 i afsnit 13.4
  • B: 9, 13 i afsnit 13.4

Lektion 13: Rumintegralet.

Materiale: Section 13.6 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.6 i E&P. Emnet er tripelintegraler (rumintegraler).
Tilhørende pencasts: volumen_polaer_integration.pdf
Opgaver:

Section 13.6, true/false study guide, s. 1045.

Section 13.6:
Udregn tripelintegraler: 1, 3, 7, 9.
Find volumen/massemidtpunkt vha. tripelintegraler: 17, 23, 31.


Afleveringsopgaver:

  • A: 3, 17 i afsnit 13.6
  • B: 3, 17 i afsnit 13.6

Lektion 14: Komplekse tal.

Materiale: Afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i MN
Forelæsning: Introduktion til nyt emne; komplekse tal. Gennemgang af afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i MN


Opgaver:

Fra MN (bemærk facitliste på side 373)
MN §1.1 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1, 5, 7, 9, 11, 13.
MN §1.1 - Potensregneregler: 15, 17.
MN §1.2 - Geometrisk fortolkning af komplekse tal: 3, 7.
MN §1.3 - Polær form af komplekse tal: 5, 7.

Afleveringsopgaver:

  • A: 7, 11 i afsnit 1.1; 5(a,d), 7(a-c, g) i afsnit 1.3
  • B: 11, 15 i afsnit 1.1; 5 i afsnit 1.2

Lektion 15: Den komplekse eksponentialfunktion.

Materiale: Afsnit 1.4 i MN
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 1.4 vedrørende den komplekse eksponentialfunktion.
Opgaver:
MN §1.4 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1.
MN §1.4 - Udtryk komplekst tal på polær form: 3.
MN §1.4 - Polær form af komplekse tal: 5.
MN §1.4 - Den komplekse eksponentialfunktion: 7, 8, 9, 10 & 11.
MN §1.4 - Trigonometriske identiteter: 12, 13.

Afleveringsopgaver:

  • A: 3, 13 i afsnit 1.4
  • B: 1b, 3b, 9 i afsnit 1.4

Lektion 16: Første ordens differentialligninger.

Materiale: Afsnit 2.2 og 2.3 i MN
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 2.2 og 2.3 om hhv. separable og lineære første ordens differentialligninger.
Opgaver:

MN §2.2 -- separable diff. ligninger: 1, 3, 5.
MN §2.2 -- løsning af separable diff. ligninger: 7, 9, 10.
MN §2.2 -- begyndelsesværdiproblemer: 17, 19

MN §2.3 -- lineære diff. ligninger: 1, 3, 5.
MN §2.3 -- løsning af lineære diff. ligninger: 7, 10, 13.
MN §2.3 -- begyndelsesværdiproblemer: 17.

Afleveringsopgaver:

  • A: 7, 17 i afsnit 2.2; 7, 17 i afsnit 2.3
  • B: 3, 17 i afsnit 2.2; 7 i afsnit 2.3

Lektion 17: Anden ordens differentialligninger.

Materiale: MN §4.1-§4.3.
Forelæsning: Emnet er anden ordens differentialligninger: MN §4.1-§4.3.
Opgaver:
MN §4.2 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 1, 3, 5, 7.
MN §4.2 - Løs begyndelsesværdiproblem: 13, 15, 17.
MN §4.2 - Lineær uafhængighed: 27, 29.
MN §4.3 - Den karakteristiske ligning: 1, 3, 5, 9.
MN §4.3 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 11.
MN §4.3 - Løs begyndelsesværdiproblem: 21, 23, 25.

Afleveringsopgaver:

  • A: 1, 13 i afsnit 4.2; 3, 21 i afsnit 4.3
  • B: 13 i afsnit 4.2; 21 i afsnit 4.3

Lektion 18: Inhomogene anden ordens differentialligninger og superpositionsprincippet.

Materiale: MN §4.4 og §4.5.
Forelæsning: Gennemgang af afsnittene 4.4 og 4.5 i MN vedrørende inhomogene anden ordens differentialligninger og superpositionsprincippet.
Opgaver:
MN §4.4 -- Løs inhomogen diff. lign: 9, 11, 13, 15 og 17.
MN §4.5 -- Brug superpositionsprincippet: 1, 2
MN §4.5 -- Bestem den fuldstændige løsning: 3 og 5.

Afleveringsopgaver:

  • A: 11 i afsnit 4.4; 1, 5 i afsnit 4.5
  • B: 11 i afsnit 4.4; 3 i afsnit 4.5

Selvstudiegang 1.

Selvstudiet omhandler Taylorpolynomier. Program samt opgaver kan findes her.

Selvstudiegang 2.

Selvstudiet giver en perspektivering på materialet i E&P, kapitel 12. Program samt opgaver kan findes her.

Selvstudiegang 3.

Selvstudiet viser en anvendelse af planintegralet til udregning af masse og massemidtpunkt. Program samt opgaver kan findes her.

Selvstudiegang 4.

selvstudiet omhandler anvendelser af 2. ordens differentialligninger. Program samt opgaver kan findes her.

Selvstudiegange

Ved alle selvstudiegange skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).

Selvstudium 1: Taylor polynomier

Tryk her for at downloade Maple-arket Taylor.mw. I kan installere Maple via https://tools.ist.aau.dk/ (screencast 1 viser hvordan - tryk her for at gå til Maple-centret).

Tryk her for at gå til Matlab-centret.

Dagens program

  1. Læs Section 10.4, siderne 743-749, i E&P vedrørende Taylor polynomier og Taylors formel med restled. I må gerne springe over bemærkningerne om uendelige rækker på side 743-744. Begynd ved afsnittet "Polynomial Approximations", s. 744.
  2. Regn nedenstående opgaver. Selvom elektroniske hjælpemidler ikke er tilladt til eksamen, er det stadig vigtigt at I som tek-nat studerende får berøring med numeriske beregninger. Derfor kræver nogle af opgaverne brug af lommeregner (eller Matlab/Maple).
  3. Maple worksheetet taylor.mw giver en kort introduktion til Taylorpolynomier i Maple. Afprøv worksheetet og eksperimenter med kommandoerne.

Opgaver

Regn opgaverne i den angivne rækkefølge. Vedr. opgave 6 nedenfor: De numeriske beregninger kan udføres på lommeregner (eller i Maple/Matlab). Det samme gælder den sidste opgave, Opgave A.

Section 10.4, side 755 i E&P: Opgaverne 1, 3, 4, 13, 16.
Opgaverne 1, 3, 4, 13, 16.
Section 10.4, side 755 i E&P.
Regn først opgave 6. Vi har, at ln(2)=-ln(1/2). Brug dette og det fundne Taylor polynomium af grad 4 til at beregne to approksimationer til ln(2). Giv et skøn over fejlen i begge approximationer.
Opgave A
Opskriv et udtryk for det generelle Taylor polynomium af grad n for funktionen cos(x) med udviklingspunkt a=0. Opskriv også et udtryk for det generelle restled. Brug dette til at bestemme et n, så at de fire første decimaler i approximationen ved værdien af Taylor polynomiet til cos(0.1) er korrekte. NB! Man skal argumentere for værdien af n ved hjælp af vurderinger på restleddet. Det er ikke nok at lave et numerisk eksperiment for at bestemme n. Men det er fornuftigt at lave en numerisk udregning for at bekræfte, at man har fundet en brugbar værdi af n.

Selvstudium 2: Partielle afledede

Selvstudium 3: Anvendelser af planintegraler

Selvstudium 4: Anvendelser af 2. ordens differentialligninger: harmonisk oscillator

Dagens program

Læs Section 4.9 (fra s. 281) i Saff et al. Regn nedenstående opgaver.

Opgaver

Exercises Section 4.4 (p. 247): 9, 11, 13, Section 4.9 (p. 290): 1, 2, 3, 5, 7.

Genopfriskningsopgaver

Forslag til hjemmeopgaver for at repetere pensum

Forslag til hjemmeopgaver for at repetere gymnasiepensum

1: Trigonometriske funktioner og deres inverse

  1. Illustrer på en enhedscirkel, hvor man aflæser sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
  2. Tegn en retvinklet trekant. Navngiv siderne og vinklerne. Giv for en af vinklerne (ikke den rette vinkel) formler for cosinus, sinus og tangens.
  3. E&P Appendix C. p. A18. Opgaverne 15, 16, 18, 19, 21.

2: Polære koordinater

  • Hvad er $(x,y)$ koordinaterne for et punkt på enhedscirklen med vinkel $\frac{\pi}{4}$ (eller $45^\circ$). Klik her for at få svaret
  • Hvad er $(x,y)$ koordinaterne for et punkt på en cirkel med radius 3 med vinkel $\frac{\pi}{4}$. Klik her for at få svaret
  • Find centrum og radius for en cirkel med ligning $x^2+y^2-4x+2y-4=0$
  • Et punkt på grafen for en funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ har koordinater $(2,7)$. Hvad er $f(2)$? Kan man sige noget om $f(7)$ udfra denne oplysning? 

3: Kurver og bevægelse i rummet

  • Giv to forskellige parameterfremstilling for linjen i rummet gennem punkterne $[2,3,0]$ og $[1,1,1]$.
  • Udregn $D_x(f+g)(0)=(f+g)'(0)$, hvor $f(x)=e^x$ og $g(x)=-3x$.
  • Udregn $\int_2^4xdx$ og $\int_0^2xdx$. Brug disse resultater til at udregne $\int_0^4x dx$.

4: Buelængde og krumning

  • Udregn $h'(s)$, når $f(x)=x^2$, $g(s)=s+1$ og $h(s)=f\circ g(s)=f(g(s))$.
  • Når $F(x)$ er en stamfunktion for $f(x)$, hvad er så $F'(x)$?
  • Udregn $\int_0^tx^3dx$. Klik her for at få svaret
  • Udregn tværvektoren til $\mathbf{v}=[3,1]$
  • Reducér udtrykket $(4cos(t)+3sin(t))^2+(3cos(t)-4sin(t))^2$

6: Introduktion til funktioner af flere variable

Denne gang indeholder også repetition fra lineær algebrakurset. En reel funktion/afbildning har en definitionsmængde (engelsk: domain), vi skriver $f:D\to \mathbf{R}$. I opgaverne her er $D$ en delmængde af $\mathbf{R}$:

  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for en funktion med funktionsudtryk $f(x)=\frac{1}{x}$? Klik her for at få svaret
  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $g(x)=\ln(x)$? Klik her for at få svaret
  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $f(x)=\sqrt{x}$? Klik her for at få svaret
  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $f(x)=\sqrt{x-1}$? Klik her for at få svaret

7: Partielle afledede

Denne gang drejer det sig om tretrinsreglen for en funktion $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$. Tretrinsreglen er en blanding af en definition af den afledte $f'(x_0)$ og en opskrift på at finde $f'(x_0)$:

  1. Find funktionstilvæksten $\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)$
  2. Opskriv differenskvotienten $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
  3. Find (om muligt) grænseværdien $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$. Hvis denne grænseværdi eksisterer, så er det $f'(x_0)$

Opgave:

Funktionen $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ har funktionsudtryk(funktionsforskrift) $f(x)=4x^2$. Udregn $f'(2)$ ved at bruge tretrinsreglen. Tegn en graf for $f$ og indtegn $x_0$, $f(x_0)$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$ og sekantlinjer for $x_0=2$ og $h=2$, for $h=1$ og for $h=-1$. Udregn differenskvotienten for de tre værdier af $h$.

Vink: Her er en sekantlinje (for en anden funktion): http://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-calculus.svg

8: Optimering

  1. Find minimum for funktionen $f(x)=x^4-8x^2+3$
    Vink: Find først $f'(x)$ og dens nulpunkter. Minimum antages i et af disse punkter (Hvorfor?)
    Klik her for at få svaret
  2. Find de punkter, hvor funktionen $f(x)=x^3-3x+7$ har vandret tangent. Klik her for at få svaret
  3. Find maksimum og minimum for funktionen $f(x)=x^3-3x+7$ når $-2\leq x\leq 2$. Klik her for at få svaret

9: Kædereglen

  1. Funktionen $h(x)=f\circ g(x)$ og $g(x)=x^2$, $f(y)=\sin(y)$. Hvad er $h'(3)$? Klik her for at få svaret
  2. Funktionen $h(x)=e^{3x^2+3}$. $h(x)=f\circ g(x)$. Hvad kan $f$ og $g$ være? (Flere svar kan være rigtige...)
    1) $g(x)=x^2$, $f(y)=e^{3y+3}$
    2) $g(x)=e^x$, $f(y)=3y^2+3$
    3) $g(x)=3x^2+3$, $f(x)=e^y$
    4) $g(x)=x^2+1$, $f(y)=e^{3y}$
    Klik her for at få svaret
  3. Om funktionen $h(x)=f\circ g(x)$ oplyses, at $g'(2)=-1$, $g(2)=5$, $f'(5)=3$. Hvad er $h'(2)$? Klik her for at få svaret

10: Gradientvektor og de retningsafledede

  1. Lad $\mathbf{u}=<\cos(\theta),\sin(\theta)>$ og $\mathbf{v}=<v_1,v_2>$. Udregn $g(\theta)=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$. Klik her for at få svaret
  2. Udregn projektionen af vektoren $\mathbf{v}=<-1,3>$ på $\mathbf{w}= <3,3>$ og indtegn de tre vektorer i et koordinatsystem. Klik her for at få projektionen
  3. Udregn de partielle afledede af $f(x,y)=5x^3y^4 -2xy+6y+34$. Klik her for at få svaret

12: Integration af funktioner af to variable

  1. Udregn integralet $\int_2^32x dx$. Klik her for at få svaret
  2. Udregn det ubestemte integrale $\int x^3 dx$. Klik her for at få svaret
  3. Hvad er stamfunktionerne til

13: Mere om integration af funktioner af to variable

  1. Tegn linjestykket $y=2-x$ og $-1\leq x\leq 1$. Klik her for at få svaret
  2. Tegn linjestykket $x=y+3$ og $0\leq y\leq 2$. Klik her for at få svaret
  3. Tegn den figur i planen, som er givet ved $0\leq x \leq 1$ og $0\leq y\leq x$. Klik her for at få et vink. Klik her for at få svaret
  4. En trekant i planen har hjørnepunkter $P(1,0)$, $Q(2,1)$ og $R(2,4)$. Tegn trekanten og opskriv ligning for de linjer, der udgør dens kanter. Klik her for at få svaret

14: Planintegralet i polære koordinater

  1. Hvad er arealet af en cirkel med radius $r$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad er arealet af den "ring", der ligger mellem cirklen med radius $5$ og cirklen med radius $3$, begge med centrum i Origo? Klik her for at få svaret
  3. Hvad er arealet af den del af enhedscirklen, som ligger mellem vinklerne $\vartheta=0$ og $\vartheta=\frac{\pi}{4}$? Klik her for at få svaret
  4. Hvad er arealet af den del af "ringen" fra opg. 2, som ligger mellem $\vartheta=0$ og $\vartheta=\frac{\pi}{4}$? Klik her for at få svaret

15: Tripelintegraler

  1. Hvad er volumen af en kasse med højde $h$, bredde $b$ og længde $l$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad vejer en kasse med volumen $5 m^3$ og massefylde $500 kg/m^3$ Klik her for at få svaret
  3. Hvad er volumen af en cylinder med højde $7$ og radius $5$? Klik her for at få svaret

17: Komplekse tal

  1. Udregn $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$ eksakt. Klik her for at få svaret
  2. Udregn $(3+2\sqrt{5})+4-3\sqrt{5})$ eksakt. Klik her for at få svaret
  3. Udregn $(2+2\sqrt{3})(3+4\sqrt{3})$ eksakt. Klik her for at få svaret
  4. Ikke gymnasiestof, men fra tidligere i kurset:
    1. Et punkt i planen har polære koordinater $r=\sqrt{2}$ og $\rho=\frac{\pi}{4}$. Hvad er de kartesiske koordinater? Klik her for at få svaret
    2. Hvad er de polære koordinater til punktet $(3,4)$, hvis vi forlange $r\geq 0$ og $0\leq\rho < 2\pi$? Klik her for at få svaret

18: Den komplekse eksponentialfunktion

  1. Hvad er $e^{a+b}$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad er (den maksimale) definitionsmængde for den reelle funktion $f(x)=e^x$? Hvad er billedmængden? Klik her for at få svaret
  3. Hvad er $\frac{d}{dx}e^x$ og $\frac{d}{dx}e^{kx}$? Klik her for at få svaret
  4. Hvad er de anden afledte $\frac{d^2}{(dx)^2}\cos(x)$ og $\frac{d^2}{(dx)^2}\sin(x)$? Klik her for at få svaret
  5. Løs differentialligningen $f'(x)=f(x)$. (Den kan også skrives $\frac{dy}{dx}=y$ - sådan har I måske set den i gymnasiet.) Klik her for at få svaret

19: Første ordens differentialligninger

  1. Bestem en stamfunktion til $f(t)=2t+t^2+3t^3$. Klik her for at få svaret
  2. Bestem det uengentlige integrale $\int t\cos(t^2)\,dt$. Klik her for at få et vink
  3. Find den løsning til differentialligningen $y'(t)=2t+t^2+3t^3$, der opfylder $y(0)=1$. Klik her for at få et vink.
  4. Bestem løsningen til differentialligningen $y'(t)=t^2e^{t^3}$. Klik her for at få svaret

20: Anden ordens lineære differentialligninger

  1. Vis, at $e^{3t}$ er en løsning til $y'(t)=3y(t)$.
  2. Vis, at $ke^{3t}$ er en løsning til $y'(t)=3y(t)$ for ethvert $k\in\mathbb{R}$.
  3. Vis, at funktionen $y(t)=5e^{t}$ er en løsning til ligningen $y''+5y'-6y=0$. Klik her for at få et vink
  4. Vis, at funktionen $y(t)=e^{6t}$ er en løsning til ligningen $y''+5y'-6y=0$. Klik her for at få et vink

21: Inhomogene 2. ordens ligninger. Superpositionsprincippet.

  1. Hvad er $(f+g)'(t)$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad er $(af+bg)'(t)$? Klik her for at få svaret
  3. Om to funktioner $y_1(t)$ og $y_2(t)$ oplyses, at $y_1'(t)=t^3$ og $y_2'(t)=\frac{1}{cos(t)}$. Find de afledte af funktionerne (OBS: Uden først at finde $y_1(t)$ og $y_2(t)$)
    1. $f(t)=3y_1(t)$. Klik her for at få svaret
    2. $g(t)=y_1(t)+y_2(t)$. Klik her for at få svaret
    3. $h(t)=2y_1(t)+7y_2(t)$. Klik her for at få svaret

Gamle eksamensopgaver

Bemærk: ny struktur i prøvens opbygning. Relevant fra og med foråret 2016.

Tidligere eksamensopgaver

Bemærk: Emnerne integraler i cylinder- og sfæriske koordinater samt den binome ligning indgår ikke længere i calculus eksamenspensum. Man kan derfor se bort fra opgaver vedr. disse emner i det nedenstående. Specifikt: Testsæt 1 opg. 9, juni 2011 opg. 9, august 2011 opg. 1 og 5, juni 2012 opg. 9, juni 2013 opg. 4.

Pensum

Lærebøger/litteratur

Vi anvender følgende undervisningsmateriale:

  • C.H. Edwards & D.E. Penney (E&P), Calculus, 7th Edition, Prentice Hall 2008.
  • E.B. Saff et al. Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, 2010. (Købes i boghandlen samlet pakke med E&P.)

Pensum

Fra Edwards and Penney:

  • Appendix C, A-13 til A-17
  • Section 6.8 frem til side 493 midt
  • Section 9.2
  • Section 10.4 frem til Taylor series side 749
  • Section 11.5
  • Section 11.6 frem til side 869 midt
  • Section 12.1
  • Section 12.2
  • Section 12.3
  • Section 12.4
  • Section 12.5
  • Section 12.7 til og med side 956
  • Section 12.8
  • Section 13.1
  • Section 13.2
  • Section 13.3
  • Section 13.4
  • Section 13.5 dog ikke Pappus sætning
  • Section 13.6


Fra Saff et al. (MN)

Complex numbers:

  • Chapter 1, afsnit 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5

Differential equations:

  • Chapter 1, afsnit 1.1 og 1.2 (motivation og løsningsbegrebet)
  • Chapter 2, afsnit 2.2 og 2.3
  • Chapter 4, afsnit 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.9

Matematik-cafe

Har du svært ved lineær algebra og/eller calculus på første studieår og er du opsat på at gøre noget ved det?

Så er Matematik-cafe lige noget for dig. Det kører med jævne mellemrum på alle tre campuser (tid og sted fremgår nedenfor). Det er et ekstra tilbud om matematikhjælp et par timer, hvor en hjælpelærer er klar til at forklare, hvordan du kommer videre i den opgave, du gik i stå med til sidste opgaveregning. Det kræver blot, at du tilmelder dig ved at sende en email til hjælpelæreren senest to dage før den planlagte dato. Hvis hjælpelæreren ikke har modtaget nogen email på dette tidspunkt, aflyses Matematik-cafe uden varsel. Du kan altså kun regne med at få hjælp, hvis du har sendt en email rettidigt og fået svar på denne! I emailen bedes du kort beskrive, hvad du har brug for hjælp til (typisk en bestemt opgave), uden at det behøver være en lang mail.

Bemærk: Dette er et ekstra tilbud om matematik-hjælp ud over den almindelige studietid, så det er absolut ikke en gyldig undskyldning for ikke at deltage i andre kursusaktiviteter og projektarbejdet.

Tid og sted for matematik-cafeen opdateres snarest.

Aalborg (email: dhaug16@student.aau.dk)

De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):

  • Tirsdag 22/10-19 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Tirsdag 29/10-19 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Onsdag 6/11-19 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Tirsdag 12/11-19 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Tirsdag 19/11-19 kl. 16:15-17:45 i A309, Strandvejen 12–14.
  • Tirsdag 26/11-19 kl. 16:15-17:45 i A309, Strandvejen 12–14.
  • Tirsdag 3/12-19 kl. 16:15-17:45 i A309, Strandvejen 12–14.
  • Tirsdag 10/12-19 kl. 16:15-17:45 i A309, Strandvejen 12–14.
  • Tirsdag 17/12-19 kl. 16:15-17:45 i A309, Strandvejen 12–14.

Warning: include(event-dan.php) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /srv/web/first.math.aau.dk/http/content/2019e/calculus/index-dan.php on line 50

Warning: include() [function.include]: Failed opening 'event-dan.php' for inclusion (include_path='.:/srv/web/first.math.aau.dk/php-lib:/usr/share/php') in /srv/web/first.math.aau.dk/http/content/2019e/calculus/index-dan.php on line 50

Eksamen

Eksamen afholdes som en digital stedprøve. Det vil sige, at man skal møde ind ligesom for almindelige skriftlige eksamener, men at eksamenssættet skal besvares online i Moodle.

Alle studerende skal selv medbringe en computer med internetadgang, men det er kun tilladt at bruge DigitalEksamen og Moodle – digitale noter er ikke tilladt. For at undgå snyd, skal programmet ITX-Flex være slået til under eksamen. Dette skal installeres på forhånd; hvordan kan ses i AAU's officielle vejledning.

Det anbefales at benytte én af følgende browsere til at besvare eksamenssættet i Moodle: Chrome, Firefox, Opera eller Safari. Det er principielt muligt at besvare sættet i Internet Explorer eller Edge, men spørgsmålenes layouts kan være uhensigtsmæssige.

Under eksamenen

Ved eksamenens begyndelse skal du logge på både DigitalEksamen og ITX-Flex. Her findes et link til Moodle, hvor selve besvarelsen foregår.

I Moodle skal du vælge mellem et dansk eller engelsk eksamenssæt – dette sprog kan kun vælges én gang. Vælg gerne sprog inden eksamen, så du er klar på dagen. Når sproget er valgt, låses det tilsvarende eksamenssæt op ved eksamenens begyndelse. Besvar spørgsmålene som til enhver anden multiple-choice-prøve.

Aflevering

Når du er færdig med din besvarelse, skal du først aflevere i Moodle. Herefter skal du hente én af formularerne, der ligger under fanen “Eksamensopgave” i DigitalEksamen/ITX-Flex. Denne skal udfyldes med navn og studienummer og afleveres i DigitalEksamen. Dette er vigtigt, da din besvarelse ellers ikke kan bedømmes. Når besvarelsen i Moodle lukker, har du yderligere 10 minutter til at aflevere i DigitalEksamen.

Bemærk, at der kun kan afleveres én gang i Moodle. Når en besvarelse er indsendt, kan den ikke ændres. Desuden afleveres alle påbegyndte besvarelser automatisk i Moodle, når eksamenen slutter.

Hvad er tilladt?

Det er tilladt at bruge håndskrevne, udskrevne eller kopierede noter, samt lærebøger.

Det er ikke tilladt at bruge elektroniske hjælpemidler. Det er heller ikke tilladt at bruge andre internetsider end DigitalEksamen og prøvesiden i Moodle.

Mere information

For mere information omkring eksamen og de gældende regler, henvises til de retningslinjer, som kan findes på Moodle-rummet for eksamener på første studieår.

Eksamensforberedelse inden eksamen

Pensum til eksamen er under menupunkter "Pensum" og opgaverne til eksamen vil falde indenfor dette. Det er en god ide at komme igennem hele pensum ved at bruge oversigterne fra kursusgangene.

Eksempel: Opgaverne om krumning er inddelt i:

  • Beregning af kurvelængde.
  • Beregning af krumning.
  • Bestemmelse af tidspunktet for den maksimale krumning.
  • Bestemmelse af tangent- og enhedsnormalvektor.
  • Bestemmelse af krumningscirklen.
  • Vær sikker på,at I kan regne alle disse typer af opgaver. Læs også eksemplerne i det pågældende kapitel.

Overvej de overordnede principper.
Hvilke emner hænger sammen med andre/bygger på andre. Lav en oversigt for dig selv og/eller tal om det i gruppen.

Husk True/False.
Brug disse opgaver til at gennemskue detaljer i pensum.

Regn så eksamensopgaver - formål: At se, hvordan vi formulerer opgaver. At øve dig i de forskellige versioner af Multiple Choice. OBS: Eksamensopgaver, som ikke er Multiple Choice, kan sagtens være relevante. Den eneste forskel er, hvordan man har mulighed for at svare.

Spørgetimer

Der tilbydes hjælp til at forberede sig til den kommende eksamen i både calculus og lineær algebra på alle tre campusser. Denne hjælp består af spørgetid, hvor man kan stille spørgsmål indenfor kurset og få hjælp til konkrete opgaver. I spørgetiden kan man også løse opgaver på egen hånd og spørge, når man går i stå. Der tages udgangspunkt i de gamle eksamensopgaver, som er tilgængelige her på first.math.aau.dk, og det anbefales at man regner så mange som muligt på forhånd, så man ved, hvor man har problemer. Det bemærkes at hjælpelærerne ikke kommer rundt i jeres grupperum, men derimod sidder alle samlet og regner opgaver enkeltvis eller i små grupper i lokalerne angivet nedenfor.

Datoer for spørgetimerne bliver fastlagt mod slutningen af semestret.