Husk at der jævnligt afholdes matematik-cafe (hvis der er tilmelding per email som beskrevet her), hvor man har mulighed for at få hjælp til at regne opgaver. Næste gang er:
Dette kursus bygger i høj grad videre på pensummet i gymnasiet. Det er derfor vigtigt at have godt styr på dette stof. Hvis I har brug for at få det repeteret, kan Rob Ghrists Coursera-kursus 'Calculus 1 variabel' være en god hjælp suppleret med at regne gamle opgaver fra gymnasiet (se forslag til hvilke under 'Genopfriskningsopgaver').
I Calculus-kurset bruger vi et SAMPAK AF TO BØGER. Nemlig:
Ovenstående SAMPAK har ISBN-nummer 9781784499075 og kan købes i boghandelen (tidligere var det ISBN-nummer 1-783-99028-7). Compilation af Morten Nielsen kan IKKE købes løs.
Herforuden benyttes følgende materiale:
Calculus gennemføres i forårssemesteret og har et omfang på 22 lektioner (5 ECTS). Af disse 22 skemalagte lektioner er der lærerdækning på de 18 og de resterende 4 lektioner er selvstudie på gruppebasis dog med hjælpelærerdækning. Bemærk, at materialet fra disse 4 selvstudiegange også indgår i pensum. Evalueringsformen er en 4 timers skriftlig prøve (uden brug af elektroniske hjælpemidler). Der gives karakter efter 7-trinsskalaen.
Se også Moodle.
Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få. Der er ofte ganske mange opgaver til hver kursusgang, så det anbefales at man begynder med de prioriterede opgaver, der er markeret med fed. Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7. forelæsning skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til 1. forelæsning. Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver.
Plan for Calculus.
Litteratur:
E&P - Edwards and Penney: Calculus - Early Transcendentals. 7th edition. Prentice Hall.
MN - An Introduction to Complex Numbers and Differential Equations", Second Edition, Compiled by Morten Nielsen, Pearson.
Materiale: Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i
E&P.
Forelæsning: Introduktion til Calculus. Derefter gennemgang af Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.
Opgaver:
Appendix C, A13-A17:
Omregning mellem vinkelmål: 1, 3, 5, 7, 9.
Periodiske egenskaber ved trig. funktioner: 15, 20.
Trigonometriske identiteter: 26
Evaluering af trigonometriske funktioner: 29, 33
Additionsformler: 37
Trigonometriske ligninger: 43, 47.
Section 6.8, side 496-498 i E&P.
True/false study guide, 1-8.
Differentiation af inv. trig. funktioner: 5, 6, 17.
Integration af inv. trig. funktioner: 31, 35.
Materiale: Section 9.2 E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 9.2 E&P.
Emnet er polære koordinater.
Tilhørende pencasts:
polaere_koordinater-1-2.pdf,
polaere_koordinater-2-2.pdf
Opgaver:
Section 9.2 true/false study guide, s. 670.
Materiale: Section 11.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.5 E&P.
Emnet er parametrisk beskrivelse af kurver i rummet. I den
forbindelse kan man berøre dele af Section 9.4 vedrørende plane
kurver.
Tilhørende pencasts: parametriserede_kurver.pdf
Opgaver:
Parametriske kurver: 1,9.
Bestemmelse af hastighed- og accelerationsvektor: 13, 15.
Integration af parametriske kurver: 17.
Regneregler for differentiation af vektorfunktioner: 21, 23.
Hastighed, fart og acceleration af partikel: 35.
Projektilbaner: 43, 45. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig
1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665 m / s2.
Dernæst: opgaver fra tidligere.
Materiale: Section 11.6 (til s. 869 midt) i
E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.6 (til s.
869 midt) i E&P. Emnerne er buelængde og krumning for plane
kurver.
Tilhørende pencasts: krumning_af_plan_kurve.pdf
Opgaver:
Materiale: Section 12.1, 12.2 og evt. noget af
12.3 i E&P.
Forelæsning: Introduktion til teorien for
funktioner af flere variable. Gennemgang af afsnittene 12.1, 12.2
og evt. noget af 12.3 i E&P.
Opgaver:
Section 12.3:
Grænseværdier og kontinuitet: 1,5.
Undersøg om grænseværdi eksisterer: 21, 43.
Materiale: Section 12.4 i E&P
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.4 i
E&P. Emnet er partielle afledede.
Tilhørende pencasts: partielle_afledede.pdf,
tangentplan.pdf
Opgaver:
Section 12.4, side 927-931 i E&P. True/false study guide.
Beregning af partielle afledede: 1, 3, 5,
15.
Blandede partielle afledede og relationen zxy
= zyx: 21,
25.
Bestemmelse af tangentplan: 31, 38.
Eksistens af funktioner med givne partielle afledede: 41,
43.
Indsæt funktion i partiel differentialligning: 55, 58 (brug gerne
Maple).
Materiale: Section 12.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.5 i
E&P. Emnerne er optimering.
Tilhørende pencasts: optimering-1-2.pdf,
optimering-2-2.pdf
Opgaver:
Section 12.5, True/false study guide, s. 939.
Section 12.5:
Find vandret tangentplan: 3, 5, 9.
Find det "højeste" eller "laveste" punkt på en flade: 13.
Find maks og min for en given function: 23, 25, 27.
Minimer materialeomkostninger: 41, 47 ("girth"=korteste
omkreds).
Materiale: Section 12.7 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.7 i
E&P. Emnet er kædereglen.
Tilhørende pencasts: kaedereglen_1-2.pdf,
kaedereglen_2-2.pdf,
implicit_differentiation.pdf
Opgaver:
Section 12.7 true/false study guide, s. 959.
Section 12.7:
Benyt kædereglen til at udregne partielle afledede: 1, 3.
Nedskriv kædereglen i given situation: 13.
Implicit differentiation: 19, 21, 23.
Kædereglen og partielle differentialligninger: 40, 43.
Materiale: Section 12.8 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.8 i
E&P. Emnerne er den retningsafledede og gradientvektoren.
Tilhørende pencasts: gradientvektor_og_ligning_for_tangentplan.pdf,
retningsafledede.pdf
Opgaver:
Section 12.8 true/false study guide, s. 970.
Section 12.8, s. 971.
Bestem gradientvektoren: 3, 5.
Find den retningsafledede: 11, 15.
Find den maksimale retningsafledede: 21, 23.
Find tangentline/plan til kurve/flade: 29, 31, 33.
Find tangentlinjen til keglesnit: 41.
Materiale: Section 13.1 og noget af 13.2 i
E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.1 og noget
af 13.2 i E&P. Emnet er integration af funktioner af to
variable.
Tilhørende pencasts:
dobbeltintegral_rektangel.pdf
Opgaver:
Section 13.1 true/false study guide, s. 1003.
Section 13.1:
Evaluer itererede integraler: 11, 13, 15,
17, 19, 21, 25, 27, 29, 31. Riemann sum: 37.
Gamle opgaver fra 12.8 ( 21, 23, 29, 31).
Materiale: Resten af section 13.2 og section
13.3 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af resten af section 13.2
og section 13.3 i E&P. Emnerne er integration af funktioner af
to variable, samt anvendelse til beregning af areal og volumen.
Tilhørende pencasts: dobbeltintegral_simpelt_omraade.pdf,
dobbeltintegral_trekant.pdf
Opgaver: Section 13.3 true/false study guide, s. 1017.
Section 13.2:
Evaluer itererede integraler: 3, 7 13.
Evaluer planintegralet over givet område: 19.
Skift integrationsrækkefølge i dobbeltintegrale: 31, 33.
Section 13.3:
Arealbestemmelse ved planintegrale: 3, 5, 9.
Find volume af legeme afgrænset af flader: 11, 15.
Find volume af legeme afgrænset af (mere komplicerede) flader: 31,
42.
Materiale: Section 13.4 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.4 i
E&P. Emnet er dobbeltintegraler i polære koordinater.
Tilhørende pencasts: integration_over_polaert_rektangel-1-2.pdf,
integration_over_polaert_rektangel-2-2.pdf,
areal_af_polaer_rose.pdf
Opgaver:
Section 13.4 true/false study guide, s. 1025.
Section 13.4:
Udregn areal af område afgrænset af polære kurver: 1, 3,
4.
Udregn volume af legeme vha. planintegralet i polære koord.: 9,
11 (regnes først) samt 29, 33 (mere udfordrende).
Skift til polære koordinater i planintegrale: 13, 15.
Section 13.3:
Udregn volumen af diverse legemer: 29, 35.
Materiale: Section 13.6 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.6 i
E&P. Emnet er tripelintegraler (rumintegraler).
Tilhørende pencasts: volumen_polaer_integration.pdf
Opgaver:
Section 13.6, true/false study guide, s. 1045.
Section 13.6:
Udregn tripelintegraler: 1, 3, 7, 9.
Find volumen/massemidtpunkt vha. tripelintegraler: 17, 23,
31.
Materiale: Afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i MN
Forelæsning: Introduktion til nyt emne; komplekse
tal. Gennemgang af afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i MN
Opgaver:
Materiale: Afsnit 1.4 i MN
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 1.4 vedrørende
den komplekse eksponentialfunktion.
Opgaver:
MN §1.4 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1.
MN §1.4 - Udtryk komplekst tal på polær form: 3.
MN §1.4 - Polær form af komplekse tal: 5.
MN §1.4 - Den komplekse eksponentialfunktion: 7, 8, 9,
10 & 11.
MN §1.4 - Trigonometriske identiteter: 12, 13.
Materiale: Afsnit 2.2 og 2.3 i MN
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 2.2 og 2.3 om
hhv. separable og lineære første ordens differentialligninger.
Opgaver:
Materiale: MN §4.1-§4.3.
Forelæsning: Emnet er anden ordens
differentialligninger: MN §4.1-§4.3.
Opgaver:
MN §4.2 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 1, 3,
5, 7.
MN §4.2 - Løs begyndelsesværdiproblem: 13, 15, 17.
MN §4.2 - Lineær uafhængighed: 27, 29.
MN §4.3 - Den karakteristiske ligning: 1, 3, 5, 9.
MN §4.3 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 11.
MN §4.3 - Løs begyndelsesværdiproblem: 21, 23, 25.
Materiale: MN §4.4 og §4.5.
Forelæsning: Gennemgang af afsnittene 4.4 og 4.5
i MN vedrørende inhomogene anden ordens differentialligninger og
superpositionsprincippet.
Opgaver:
MN §4.4 -- Løs inhomogen diff. lign: 9, 11, 13, 15
og 17.
MN §4.5 -- Brug superpositionsprincippet: 1, 2
MN §4.5 -- Bestem den fuldstændige løsning: 3 og 5.
Selvstudiet omhandler Taylorpolynomier. Program samt opgaver kan findes her.
Selvstudiet giver en perspektivering på materialet i E&P, kapitel 12. Program samt opgaver kan findes her.
Selvstudiet viser en anvendelse af planintegralet til udregning af masse og massemidtpunkt. Program samt opgaver kan findes her.
selvstudiet omhandler anvendelser af 2. ordens differentialligninger. Program samt opgaver kan findes her.
Ved alle selvstudiegange skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).
Tryk her for at downloade Maple-arket Taylor.mw. I kan installere Maple via https://tools.ist.aau.dk/ (screencast 1 viser hvordan - tryk her for at gå til Maple-centret).
Tryk her for at gå til Matlab-centret.
Regn opgaverne i den angivne rækkefølge. Vedr. opgave 6 nedenfor: De numeriske beregninger kan udføres på lommeregner (eller i Maple/Matlab). Det samme gælder den sidste opgave, Opgave A.
Læs Section 4.9 (fra s. 281) i Saff et al. Regn nedenstående opgaver.
Exercises Section 4.4 (p. 247): 9, 11, 13, Section 4.9 (p. 290): 1, 2, 3, 5, 7.
Denne gang indeholder også repetition fra lineær algebrakurset. En reel funktion/afbildning har en definitionsmængde (engelsk: domain), vi skriver $f:D\to \mathbf{R}$. I opgaverne her er $D$ en delmængde af $\mathbf{R}$:
Denne gang drejer det sig om tretrinsreglen for en funktion $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$. Tretrinsreglen er en blanding af en definition af den afledte $f'(x_0)$ og en opskrift på at finde $f'(x_0)$:
Opgave:
Funktionen $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ har funktionsudtryk(funktionsforskrift) $f(x)=4x^2$. Udregn $f'(2)$ ved at bruge tretrinsreglen. Tegn en graf for $f$ og indtegn $x_0$, $f(x_0)$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$ og sekantlinjer for $x_0=2$ og $h=2$, for $h=1$ og for $h=-1$. Udregn differenskvotienten for de tre værdier af $h$.
Vink: Her er en sekantlinje (for en anden funktion): http://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-calculus.svg
Bemærk: Emnerne integraler i cylinder- og sfæriske koordinater samt den binome ligning indgår ikke længere i calculus eksamenspensum. Man kan derfor se bort fra opgaver vedr. disse emner i det nedenstående. Specifikt: Testsæt 1 opg. 9, juni 2011 opg. 9, august 2011 opg. 1 og 5, juni 2012 opg. 9, juni 2013 opg. 4.
Vi anvender følgende undervisningsmateriale:
Complex numbers:
Differential equations:
Så er Matematik-cafe lige noget for dig. Det kører med jævne mellemrum på alle tre campuser (tid og sted fremgår nedenfor). Det er et ekstra tilbud om matematikhjælp et par timer, hvor en hjælpelærer er klar til at forklare, hvordan du kommer videre i den opgave, du gik i stå med til sidste opgaveregning. Det kræver blot, at du tilmelder dig ved at sende en email til hjælpelæreren senest et døgn før den planlagte dato. Hvis hjælpelæreren ikke har modtaget nogen email på dette tidspunkt, aflyses Matematik-cafe uden varsel. Du kan altså kun regne med at få hjælp, hvis du har sendt en email rettidigt og fået svar på denne! I emailen bedes du kort beskrive, hvad du har brug for hjælp til (typisk en bestemt opgave), uden at det behøver være en lang mail.
Bemærk: Dette er et ekstra tilbud om matematik-hjælp ud over den almindelige studietid, så det er absolut ikke en gyldig undskyldning for ikke at deltage i andre kursusaktiviteter og projektarbejdet.
Tid og sted for matematik-cafeen opdateres snarest.
Her kører matematik-cafeen generelt tirsdag eller torsdag eftermiddag.
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):
Her kører matematik-cafeen generelt onsdag eftermiddag.
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):
Her afholdes matematik-cafeen generelt tirsdag eftermiddag.
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):
Pensum til eksamen er under menupunkter "Pensum" og opgaverne til eksamen vil falde indenfor dette. Det er en god ide at komme igennem hele pensum ved at bruge oversigterne fra kursusgangene.
Eksempel: Opgaverne om krumning er inddelt i:
Overvej de overordnede principper.
Hvilke emner hænger sammen med andre/bygger på andre. Lav en oversigt for dig selv og/eller tal om det i gruppen.
Husk True/False.
Brug disse opgaver til at gennemskue detaljer i pensum.
Regn så eksamensopgaver - formål: At se, hvordan vi formulerer opgaver. At øve dig i de forskellige versioner af Multiple Choice. OBS: Eksamensopgaver, som ikke er Multiple Choice, kan sagtens være relevante. Den eneste forskel er, hvordan man har mulighed for at svare.
Der tilbydes hjælp til at forberede sig til den kommende eksamen i både calculus og lineær algebra på alle tre campusser. Konceptet består af to dele. Først vil en underviser gennemregne nogle udvalgte opgaver på tavlen. Herefter vil der være spørgetid, hvor man kan stille spørgsmål indenfor kurset og få hjælp til konkrete opgaver. I spørgetiden kan man også løse opgaver på egen hånd og spørge, når man går i stå. Der tages udgangspunkt i de gamle eksamensopgaver, som er tilgængelige her på first.math.aau.dk, og det anbefales at man regner så mange som muligt på forhånd, så man ved, hvor man har problemer. Det bemærkes at hjælpelærerne ikke kommer rundt i jeres grupperum, men derimod sidder alle samlet og regner opgaver enkeltvis eller i små grupper i lokalerne angivet nedenfor.
Der opfordres til, at man deltager fra begyndelsen, så man ikke kommer og forstyrrer midt i gennemregningen af de udvalgte opgaver.
Hjælpelærere står til rådighed til at besvare spørgsmål tirsdag d. 12. juni og onsdag d. 13. juni. Om tirsdagen er to hjælpelærere til stede, og om onsdagen tre hjælplærere. Begge dage afholdes spørgetimen i AUD 6 og 7 i tidsrummet 9:00-12:00.
Forud for reeksamen står hjælpelærerne til rådighed den tirsdag d. 22. august og onsdag d. 23. august, begge dage 9:00–12:00. Dette finder sted i AUD 3.
Der afholdes spørgetime torsdag d. 14. juni kl. 9:00-11:00. Dette finder sted i lokale 0.108, bygning D.
Forud for reeksamen afholdes spørgetime tirsdag d. 22. august kl. 9:00–11:00 i lokale 3.114 FKJ10A.