Dette kursus bygger i høj grad videre på pensummet i gymnasiet. Det er derfor vigtigt at have godt styr på dette stof. Hvis I har brug for at få det repeteret, kan Rob Ghrists Coursera-kursus 'Calculus 1 variabel' være en god hjælp suppleret med at regne gamle opgaver fra gymnasiet (se forslag til hvilke under 'Supplerende materiale').
Der er oprettet en hjælpetjeneste, hvor I i perioden 26/5 til 5/6 (begge dage inklusive) kan få svar på spørgsmål om calculusopgaver.
Det fungerer som følger: Man sender et spørgsmål til calculushjaelp@math.aau.dk I emnefeltet skriver man nummer på den opgave, det drejer sig om. Eksempelvis "Sommereksamen 2014, opgave 7" eller "E&P kapitel xxx opgave yyy".
Tre hjælpelærere står for at svare på opgaverne. Man kan ikke forvente svar med det samme. Det afhænger af hvor mange spørgsmål, der kommer, og hvornår hjælpelærerne har tid.
Fredag 5/6 er der mulighed for at mødes med en af hjælpelærerne i Aalborg. Det skal man bestille tid til på mailadressen ovenfor senest torsdag 4/6 klokken 12. Emnefelt "Møde fredag?" Mailen skal indeholde konkrete spørgsmål, man gerne vil have hjælp til. Og højst tre sådanne spørgsmål.
Calculus gennemføres i forårssemesteret og har et omfang på 22 lektioner (5 ECTS). Af disse 22 skemalagte lektioner er der lærerdækning på de 18 og de resterende 4 lektioner er selvstudie på gruppebasis dog med hjælpelærerdækning. Bemærk, at materialet fra disse 4 miniprojekter også indgår i pensum. Evalueringsformen er en 4 timers skriftlig prøve (uden brug af elektroniske hjælpemidler). Der gives karakter efter 7-trinsskalaen.
Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få. Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7. forelæsning skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til 1. forelæsning. Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver, som typisk omfatter omkring 30% af de mulige point.
Plan for Calculus F2014.
Litteratur:
E&P - Edwards and Penney: Calculus - Early Transcendentals. 7th edition. Prentice Hall.
Saff et al. - E.B. Saff et al. Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, 2010.
Materiale: Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.
Forelæsning: Introduktion til Calculus. Derefter gennemgang af Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.
Opgaver:
Omregning mellem vinkelmål: 1, 3, 5, 7, 9.
Periodiske egenskaber ved trig. funktioner: 15, 20.
Trigonometriske identiteter: 26
Evaluering af trigonometriske funktioner: 29, 33
Additionsformler: 37
Trigonometriske ligninger: 43, 47.
Supplerende opgaver: 17, 19, 21, 38, 39.
Materiale: Section 9.2 E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 9.2 E&P. Emnet er polære koordinater.
Opgaver:
Section 6.8, side 496-498 i E&P.
True/false study guide, 1-8.
Alle spørgsmål i opgaverne 1, 2 og 3 vedr. Funktionsværdibestemmelse.
Differentiation af inv. trig. funktioner: 5, 6, 8, 17, 18.
Integration af inv. trig. funktioner: 31, 32, 35, 36, 47, 48.
Ekstra opgave: 56.
Materiale: Section 11.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.5 E&P. Emnet er parametrisk beskrivelse af kurver i rummet. I den forbindelse kan man berøre dele af Section 9.4 vedrørende plane kurver.
Opgaver: Section 9.2 true/false study guide, s. 670.
Section 9.2:
Omregning mellem polære og retvinklede koordinater: 1(a)(b)(c)(f), 2(a)(e)(f).
Konvertering af ligninger fra retv. til polære koord.: 3, 6, 7.
Konvertering af ligninger fra polære til retv. koord.: 11, 13, 17.
Bestemmelse af en kurves ligning i polære koord.: 21, 27.
Ekstra opgaver fra 9.2: 29, 31, 39, 41, 53, 63.
Materiale: Section 11.6 (til s. 869 midt) i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.6 (til s. 869 midt) i E&P. Emnerne er buelængde og krumning for plane kurver.
Opgaver: Section 11.5, True/false study guide, s. 861
Section 11.5:
Afledede af parametriske kurver: 1,9.
Bestemmelse af hastighed- og accelerationsvektor: 13, 15.
Integration af parametriske kurver: 17.
Regneregler for differentiation af vektorfunktioner: 21, 23.
Hastighed, fart og acceleration af partikel: 35.
Projektilbaner: 43, 45. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig 1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665 m / s2.
Dernæst: opgaver fra tidligere.
Miniprojektet omhandler Taylorpolynomier. Program samt opgaver kan findes her.
Materiale: Section 12.1, 12.2 og evt. noget af 12.3 i E&P.
Forelæsning: Introduktion til teorien for funktioner af flere variable. Gennemgang af afsnittene 12.1, 12.2 og evt. noget af 12.3 i E&P.
Opgaver: Section 11.6:
Beregning af kurvelængde: 1, 2, 3, 5.
Beregning af krumning: 7, 10, 11.
Bestemmelse af tidspunktet for den maksimale krumning: 15, 16.
Bestemmelse af tangent- og enhedsnormalvektoren: 17, 19.
Bestemmelse af krumningscirclen: 29.
Ekstra opgaver
Tekstopgaverne vedr. projektilbaner: 43, 44, 45, 46 fra E&P Section 11.5. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig 1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665m/s2.
Materiale: Section 12.4 i E&P
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.4 i E&P. Emnet er partielle afledede.
Opgaver: Section 12.2, True/false study guide, s. 907.
Section 12.2:
Bestemmelse af definitionsmængde: 1, 3, 5, 7, 8.
Beskriv grafen for en given funktion: 22, 25, 29.
Beskriv niveaukurver for en given funktion: 41, 44.
Match graf og niveaukurver: 53, 54, 55, 56, 57, 58.
Section 12.3:
Grænseværdier og kontinuitet: 1,5.
Undersøg om grænseværdi eksisterer: 21, 43.
Materiale: Section 12.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.5 i E&P. Emnerne er optimering.
Opgaver: Section 12.4, side 927-931 i E&P. True/false study guide.
Beregning af partielle afledede: 1, 3, 5, 15.
Blandede partielle afledede og relationen zxy = zyx: 21, 25.
Bestemmelse af tangentplan: 31, 38.
Eksistens af funktioner med givne partielle afledede: 41, 43.
Indsæt funktion i partiel differentialligning: 55, 58 (brug gerne Maple).
Materiale: Section 12.7 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.7 i E&P. Emnet er kædereglen.
Opgaver: Section 12.5, True/false study guide, s. 939.
Section 12.5:
Find vandret tangentplan: 3, 5, 9.
Find det "højeste" eller "laveste" punkt på en flade: 13.
Find maks og min for en given function: 23, 25, 27.
Minimer materialeomkostninger: 41, 47 ("girth"=korteste omkreds).
Materiale: Section 12.8 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.8 i E&P. Emnerne er den retningsafledede og gradientvektoren.
Opgaver: Section 12.7 true/false study guide, s. 959.
Section 12.7:
Benyt kædereglen til at udregne partielle afledede: 1, 7.
Nedskriv kædereglen i given situation: 13.
Implicit differensation: 19, 21, 23.
Kædereglen og partielle differentialligninger: 40, 43.
Miniprojektet giver en perspektivering på materialet i E&P, kapitel 12. Program samt opgaver kan findes her.
Materiale: Section 13.1 og noget af 13.2 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.1 og noget af 13.2 i E&P. Emnet er integration af funktioner af to variable.
Opgaver: Section 12.8 true/false study guide, s. 970.
Section 12.8, s. 971.
Bestem gradientvektoren: 3, 5.
Find den retningsafledede: 11, 15.
Find den maksimale retningsafledede: 21, 23.
Find tangentline/plan til kurve/flade: 29, 31, 33.
Find tangentlinjen til keglesnit: 41.
Materiale: Resten af section 13.2 og section 13.3 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af resten af section 13.2 og section 13.3 i E&P. Emnerne er integration af funktioner af to variable, samt anvendelse til beregning af areal og volumen.
Opgaver: Section 13.1 true/false study guide, s. 1003.
Section 13.1:
Evaluer itererede integraler: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 31. Riemann sum: 31.
Gamle opgaver fra 12.8 ( 21, 23, 29, 31).
Materiale: Section 13.4 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.4 i E&P. Emnet er dobbeltintegraler i polære koordinater.
Opgaver: Section 13.3 true/false study guide, s. 1017.
Section 13.2:
Evaluer itererede integraler: 3, 7 13.
Evaluer planintegralet over givet område: 19.
Skift integrationsrækkefølge i dobbeltintegrale: 31, 33.
Section 13.3:
Arealbestemmelse ved planintegrale: 3, 5, 9.
Find volume af legeme afgrænset af flader: 11, 15.
Find volume af legeme afgrænset af (mere komplicerede) flader: 31, 42.
Materiale: Section 13.6 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.6 i E&P. Emnet er tripelintegraler (rumintegraler).
Opgaver: Section 13.4 true/false study guide, s. 1025.
Section 13.4:
Udregn areal af område afgrænset af polære kurver: 1, 3, 4.
Udregn volume af legeme vha. planintegralet i polære koord.: 9, 11 (regnes først) samt 29, 33 (mere udfordrende).
Skift til polære koordinater i planintegrale: 13, 15.
Section 13.3:
Udregn volumen af diverse legemer: 29, 35.
Miniprojektet viser en anvendelse af planintegralet til udregning af masse og massemidtpunkt. Program samt opgaver kan findes her.
Materiale: Afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i Saff et al.
Forelæsning: Introduktion til nyt emne; komplekse tal. Gennemgang af afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i Saff et al.
Opgaver:
Section 13.6, true/false study guide, s. 1045.
Section 13.6:
Udregn tripelintegraler: 1, 3, 7, 9.
Find volumen vha. tripelintegraler: 17, 23, 31.
Materiale: Afsnit 1.4 i Saff et al.
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 1.4 vedrørende den komplekse eksponentialfunktion.
Opgaver: Fra Saff et al. (bemærk facitliste på side 373)
Saff §1.1 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1, 5, 7, 9, 11, 13.
Saff §1.1 - Potensregneregler: 15, 17.
Saff §1.2 - Geometrisk fortolkning af komplekse tal: 3, 7.
Saff §1.3 - Polær form af komplekse tal: 5, 7.
Materiale: Noterne om komplekse polynomier.
Forelæsning: Noterne om komplekse polynomier gennemgåes. Specielt focus på andengradsligningen.
Opgaver:
Saff §1.4 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1.
Saff §1.4 - Udtryk komplekst tal på polær form: 3.
Saff §1.4 - Polær form af komplekse tal: 5.
Saff §1.4 - Den komplekse eksponentialfunktion: 7, 8, 9 10 & 11.
Saff §1.4 - Trigonometriske identiteter: 12, 13.
Regn resterende "gamle" opgaver om komplekse tal.
Materiale: Saff §4.1-§4.3.
Forelæsning: Emnet er anden ordens differentialligninger: Saff §4.1-§4.3.
Opgaver: Opgaveark om komplekse polynomier.
Materiale: Saff §4.4 og §4.5.
Forelæsning: Gennemgang af afsnittene 4.4 og 4.5 i Saff vedrørende inhomogene anden ordens differentialligninger og superpositionsprincippet.
Opgaver: Saff §4.2 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 1, 3, 5, 7.
Saff §4.2 - Løs begyndelsesværdiproblem: 13, 15, 17.
Saff §4.2 - Lineær uafhængighed: 27, 29.
Saff §4.3 - Den karakteristiske ligning: 1, 3, 5, 9.
Saff §4.3 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 11.
Saff §4.3 - Løs begyndelsesværdiproblem: 21, 23, 25.
Miniprojektet omhandler anvendelser af 2. ordens differentialligninger. Program samt opgaver kan findes her.
Ved alle miniprojekter skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).
Tryk her for at downloade Maple-arket Taylor.mw. I kan installere Maple via https://tools.ist.aau.dk/ (screencast 1 viser hvordan - tryk her for at gå til Maple-centret).
Tryk her for at gå til Matlab-centret.
Regn opgaverne i den angivne rækkefølge. Vedr. opgave 6 nedenfor: De numeriske beregninger kan udføres på lommeregner (eller i Maple/Matlab). Det samme gælder den sidste opgave, Opgave K4-1.
Læs Section 4.9 (fra s. 281) i Saff et al. Regn nedenstående opgaver.
Exercises 4.9 (s. 290): 1, 2, 3, 5 & 7.
Denne gang indeholder også repetition fra lineær algebrakurset. En reel funktion/afbildning har en definitionsmængde (engelsk: domain), vi skriver $f:D\to \mathbf{R}$. I opgaverne her er $D$ en delmængde af $\mathbf{R}$:
Denne gang drejer det sig om tretrinsreglen for en funktion $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$. Tretrinsreglen er en blanding af en definition af den afledte $f'(x_0)$ og en opskrift på at finde $f'(x_0)$:
Opgave:
Funktionen $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ har funktionsudtryk(funktionsforskrift) $f(x)=4x^2$. Udregn $f'(2)$ ved at bruge tretrinsreglen. Tegn en graf for $f$ og indtegn $x_0$, $f(x_0)$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$ og sekantlinjer for $x_0=2$ og $h=2$, for $h=1$ og for $h=-1$. Udregn differenskvotienten for de tre værdier af $h$.
Vink: Her er en sekantlinje (for en anden funktion): http://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-calculus.svg
Bemærk: Emnerne integraler i cylinder- og sfæriske koordinater samt den binome ligning indgår ikke længere i calculus eksamenspensum. Man kan derfor se bort fra opgaver vedr. disse emner i det nedenstående. Specifikt: Testsæt 1 opg. 9, juni 2011 opg. 9, august 2011 opg. 1 og 5, juni 2012 opg. 9, juni 2013 opg. 4.
Vi anvender følgende undervisningsmateriale i foråret 2014:
Complex numbers:
Differential equations: