Calculus

Calculus

Dette kursus bygger i høj grad videre på pensummet i gymnasiet. Det er derfor vigtigt at have godt styr på dette stof. Hvis I har brug for at få det repeteret, kan Rob Ghrists Coursera-kursus 'Calculus 1 variabel' være en god hjælp suppleret med at regne gamle opgaver fra gymnasiet (se forslag til hvilke under 'Supplerende materiale').

Hjælpetjeneste

Der er oprettet en hjælpetjeneste, hvor I i perioden 26/5 til 5/6 (begge dage inklusive) kan få svar på spørgsmål om calculusopgaver.

Det fungerer som følger: Man sender et spørgsmål til calculushjaelp@math.aau.dk I emnefeltet skriver man nummer på den opgave, det drejer sig om. Eksempelvis "Sommereksamen 2014, opgave 7" eller "E&P kapitel xxx opgave yyy".

Tre hjælpelærere står for at svare på opgaverne. Man kan ikke forvente svar med det samme. Det afhænger af hvor mange spørgsmål, der kommer, og hvornår hjælpelærerne har tid.

Fredag 5/6 er der mulighed for at mødes med en af hjælpelærerne i Aalborg. Det skal man bestille tid til på mailadressen ovenfor senest torsdag 4/6 klokken 12. Emnefelt "Møde fredag?" Mailen skal indeholde konkrete spørgsmål, man gerne vil have hjælp til. Og højst tre sådanne spørgsmål.

Litteratur

  • C.H. Edwards & D.E. Penney (E&P), Calculus, 7th Edition, Prentice Hall 2008.
  • E.B. Saff et al. Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, 2010. (Købes i boghandlen samlet pakke med E&P.)
  • A. Jensen. Lecture notes on polynomials.
  • Henrik Vie Christensen og Bo Rosbjerg, Kompendium i calculus.
  • Henrik Vie Christensen og Bo Rosbjerg, Kompendium i komplekse tal og differentialligninger.
  • Tabel over integraler.

Eksamen

Calculus gennemføres i forårssemesteret og har et omfang på 22 lektioner (5 ECTS). Af disse 22 skemalagte lektioner er der lærerdækning på de 18 og de resterende 4 lektioner er selvstudie på gruppebasis dog med hjælpelærerdækning. Bemærk, at materialet fra disse 4 miniprojekter også indgår i pensum. Evalueringsformen er en 4 timers skriftlig prøve (uden brug af elektroniske hjælpemidler). Der gives karakter efter 7-trinsskalaen.

Opgaver

Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få. Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7. forelæsning skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til 1. forelæsning. Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver, som typisk omfatter omkring 30% af de mulige point.

Plan for Calculus F2014.

Litteratur:

E&P - Edwards and Penney: Calculus - Early Transcendentals. 7th edition. Prentice Hall.

Saff et al. - E.B. Saff et al. Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, 2010.

Lektion 1: Trigonometriske funktioner.

Materiale: Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.

Forelæsning: Introduktion til Calculus. Derefter gennemgang af Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.


Opgaver:

Omregning mellem vinkelmål: 1, 3, 5, 7, 9.
Periodiske egenskaber ved trig. funktioner: 15, 20.
Trigonometriske identiteter: 26
Evaluering af trigonometriske funktioner: 29, 33
Additionsformler: 37
Trigonometriske ligninger: 43, 47.
Supplerende opgaver: 17, 19, 21, 38, 39.

Lektion 2: Polære koordinater.

Materiale: Section 9.2 E&P.

Forelæsning: Gennemgang af Section 9.2 E&P. Emnet er polære koordinater.

Opgaver:

Section 6.8, side 496-498 i E&P.

True/false study guide, 1-8.
Alle spørgsmål i opgaverne 1, 2 og 3 vedr. Funktionsværdibestemmelse.
Differentiation af inv. trig. funktioner: 5, 6, 8, 17, 18.
Integration af inv. trig. funktioner: 31, 32, 35, 36, 47, 48.
Ekstra opgave: 56.

Lektion 3: Kurver og bevægelse i rummet .

Materiale: Section 11.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.5 E&P. Emnet er parametrisk beskrivelse af kurver i rummet. I den forbindelse kan man berøre dele af Section 9.4 vedrørende plane kurver.
Opgaver: Section 9.2 true/false study guide, s. 670.

Section 9.2:
Omregning mellem polære og retvinklede koordinater: 1(a)(b)(c)(f), 2(a)(e)(f).
Konvertering af ligninger fra retv. til polære koord.: 3, 6, 7.
Konvertering af ligninger fra polære til retv. koord.: 11, 13, 17.
Bestemmelse af en kurves ligning i polære koord.: 21, 27.
Ekstra opgaver fra 9.2: 29, 31, 39, 41, 53, 63.

Lektion 4: Buelængde og krumning.

Materiale: Section 11.6 (til s. 869 midt) i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.6 (til s. 869 midt) i E&P. Emnerne er buelængde og krumning for plane kurver.
Opgaver: Section 11.5, True/false study guide, s. 861

Section 11.5:

Afledede af parametriske kurver: 1,9.
Bestemmelse af hastighed- og accelerationsvektor: 13, 15.
Integration af parametriske kurver: 17.
Regneregler for differentiation af vektorfunktioner: 21, 23.
Hastighed, fart og acceleration af partikel: 35.
Projektilbaner: 43, 45. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig 1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665 m / s2.

Dernæst: opgaver fra tidligere.

Lektion 5: Miniprojekt 1 (selvstudium).

Miniprojektet omhandler Taylorpolynomier. Program samt opgaver kan findes her.

Lektion 6: Introduktion til funktioner af flere variable.

Materiale: Section 12.1, 12.2 og evt. noget af 12.3 i E&P.
Forelæsning: Introduktion til teorien for funktioner af flere variable. Gennemgang af afsnittene 12.1, 12.2 og evt. noget af 12.3 i E&P.
Opgaver: Section 11.6:
Beregning af kurvelængde: 1, 2, 3, 5.
Beregning af krumning: 7, 10, 11.
Bestemmelse af tidspunktet for den maksimale krumning: 15, 16.
Bestemmelse af tangent- og enhedsnormalvektoren: 17, 19.
Bestemmelse af krumningscirclen: 29.

Ekstra opgaver
Tekstopgaverne vedr. projektilbaner: 43, 44, 45, 46 fra E&P Section 11.5. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig 1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665m/s2.

Lektion 7: Partielle afledede.

Materiale: Section 12.4 i E&P
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.4 i E&P. Emnet er partielle afledede.
Opgaver: Section 12.2, True/false study guide, s. 907.
Section 12.2:
Bestemmelse af definitionsmængde: 1, 3, 5, 7, 8.
Beskriv grafen for en given funktion: 22, 25, 29.
Beskriv niveaukurver for en given funktion: 41, 44.
Match graf og niveaukurver: 53, 54, 55, 56, 57, 58.

Section 12.3:
Grænseværdier og kontinuitet: 1,5.
Undersøg om grænseværdi eksisterer: 21, 43.

Lektion 8: Optimering.

Materiale: Section 12.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.5 i E&P. Emnerne er optimering.
Opgaver: Section 12.4, side 927-931 i E&P. True/false study guide.

Beregning af partielle afledede: 1, 3, 5, 15.
Blandede partielle afledede og relationen zxy = zyx: 21, 25.
Bestemmelse af tangentplan: 31, 38.
Eksistens af funktioner med givne partielle afledede: 41, 43.
Indsæt funktion i partiel differentialligning: 55, 58 (brug gerne Maple).

Lektion 9: Kædereglen.

Materiale: Section 12.7 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.7 i E&P. Emnet er kædereglen.
Opgaver: Section 12.5, True/false study guide, s. 939.
Section 12.5:
Find vandret tangentplan: 3, 5, 9.
Find det "højeste" eller "laveste" punkt på en flade: 13.
Find maks og min for en given function: 23, 25, 27.
Minimer materialeomkostninger: 41, 47 ("girth"=korteste omkreds).

Lektion 10: Den retningsafledede og gradientvektoren.

Materiale: Section 12.8 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.8 i E&P. Emnerne er den retningsafledede og gradientvektoren.
Opgaver: Section 12.7 true/false study guide, s. 959.

Section 12.7:
Benyt kædereglen til at udregne partielle afledede: 1, 7.
Nedskriv kædereglen i given situation: 13.
Implicit differensation: 19, 21, 23.
Kædereglen og partielle differentialligninger: 40, 43.

Lektion 11: Miniprojekt 2 (selvstudium).

Miniprojektet giver en perspektivering på materialet i E&P, kapitel 12. Program samt opgaver kan findes her.

Lektion 12: Integration af funktioner af to variable.


Materiale: Section 13.1 og noget af 13.2 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.1 og noget af 13.2 i E&P. Emnet er integration af funktioner af to variable.

Opgaver: Section 12.8 true/false study guide, s. 970.

Section 12.8, s. 971.
Bestem gradientvektoren: 3, 5.
Find den retningsafledede: 11, 15.
Find den maksimale retningsafledede: 21, 23.
Find tangentline/plan til kurve/flade: 29, 31, 33.
Find tangentlinjen til keglesnit: 41.

Lektion 13: Mere om integration af funktioner af to variable.

Materiale: Resten af section 13.2 og section 13.3 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af resten af section 13.2 og section 13.3 i E&P. Emnerne er integration af funktioner af to variable, samt anvendelse til beregning af areal og volumen.
Opgaver: Section 13.1 true/false study guide, s. 1003.

Section 13.1:
Evaluer itererede integraler: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 31. Riemann sum: 31.

Gamle opgaver fra 12.8 ( 21, 23, 29, 31).

Lektion 14: Planintegralet i polære koordinater.

Materiale: Section 13.4 i E&P.


Forelæsning: Gennemgang af Section 13.4 i E&P. Emnet er dobbeltintegraler i polære koordinater.
Opgaver: Section 13.3 true/false study guide, s. 1017.

Section 13.2:
Evaluer itererede integraler: 3, 7 13.
Evaluer planintegralet over givet område: 19.
Skift integrationsrækkefølge i dobbeltintegrale: 31, 33.

Section 13.3:
Arealbestemmelse ved planintegrale: 3, 5, 9.
Find volume af legeme afgrænset af flader: 11, 15.
Find volume af legeme afgrænset af (mere komplicerede) flader: 31, 42.

Lektion 15: Rumintegralet.

Materiale: Section 13.6 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.6 i E&P. Emnet er tripelintegraler (rumintegraler).
Opgaver: Section 13.4 true/false study guide, s. 1025.

Section 13.4:
Udregn areal af område afgrænset af polære kurver: 1, 3, 4.
Udregn volume af legeme vha. planintegralet i polære koord.: 9, 11 (regnes først) samt 29, 33 (mere udfordrende).
Skift til polære koordinater i planintegrale: 13, 15.

Section 13.3:
Udregn volumen af diverse legemer: 29, 35.

Lektion 16: Miniprojekt 3 (selvstudium).

Miniprojektet viser en anvendelse af planintegralet til udregning af masse og massemidtpunkt. Program samt opgaver kan findes her.

Lektion 17: Komplekse tal.

Materiale: Afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i Saff et al.
Forelæsning: Introduktion til nyt emne; komplekse tal. Gennemgang af afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i Saff et al.


Opgaver:

Section 13.6, true/false study guide, s. 1045.

Section 13.6:
Udregn tripelintegraler: 1, 3, 7, 9.
Find volumen vha. tripelintegraler: 17, 23, 31.

Lektion 18: Den komplekse eksponentialfunktion.

Materiale: Afsnit 1.4 i Saff et al.
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 1.4 vedrørende den komplekse eksponentialfunktion.
Opgaver: Fra Saff et al. (bemærk facitliste på side 373)
Saff §1.1 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1, 5, 7, 9, 11, 13.
Saff §1.1 - Potensregneregler: 15, 17.
Saff §1.2 - Geometrisk fortolkning af komplekse tal: 3, 7.
Saff §1.3 - Polær form af komplekse tal: 5, 7.

Lektion 19: Komplekse polynomier.

Materiale: Noterne om komplekse polynomier.
Forelæsning: Noterne om komplekse polynomier gennemgåes. Specielt focus på andengradsligningen.
Opgaver:

Saff §1.4 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1.
Saff §1.4 - Udtryk komplekst tal på polær form: 3.
Saff §1.4 - Polær form af komplekse tal: 5.
Saff §1.4 - Den komplekse eksponentialfunktion: 7, 8, 9 10 & 11.
Saff §1.4 - Trigonometriske identiteter: 12, 13.

Regn resterende "gamle" opgaver om komplekse tal.

Lektion 20: Anden ordens differentialligninger.

Materiale: Saff §4.1-§4.3.
Forelæsning: Emnet er anden ordens differentialligninger: Saff §4.1-§4.3.
Opgaver: Opgaveark om komplekse polynomier.

Lektion 21: Inhomogene anden ordens differentialligninger og superpositionsprincippet.

Materiale: Saff §4.4 og §4.5.
Forelæsning: Gennemgang af afsnittene 4.4 og 4.5 i Saff vedrørende inhomogene anden ordens differentialligninger og superpositionsprincippet.
Opgaver: Saff §4.2 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 1, 3, 5, 7.
Saff §4.2 - Løs begyndelsesværdiproblem: 13, 15, 17.
Saff §4.2 - Lineær uafhængighed: 27, 29.
Saff §4.3 - Den karakteristiske ligning: 1, 3, 5, 9.
Saff §4.3 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 11.
Saff §4.3 - Løs begyndelsesværdiproblem: 21, 23, 25.

Lektion 22: Miniprojekt 4 (selvstudium).

Miniprojektet omhandler anvendelser af 2. ordens differentialligninger. Program samt opgaver kan findes her.

Miniprojekter

Ved alle miniprojekter skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).

Miniprojekt 1: Taylor polynomier

Tryk her for at downloade Maple-arket Taylor.mw. I kan installere Maple via https://tools.ist.aau.dk/ (screencast 1 viser hvordan - tryk her for at gå til Maple-centret).

Tryk her for at gå til Matlab-centret.

Dagens program

  1. Læs Section 10.4, siderne 743-749, i E&P vedrørende Taylor polynomier og Taylors formel med restled. I må gerne springe over bemærkningerne om uendelige rækker på side 743-744. Begynd ved afsnittet "Polynomial Approximations", s. 744.
  2. Regn nedenstående opgaver. Selvom elektroniske hjælpemidler ikke er tilladt til eksamen, er det stadig vigtigt at I som tek-nat studerende får berøring med numeriske beregninger. Derfor kræver nogle af opgaverne brug af lommeregner (eller Matlab/Maple).
  3. Maple worksheetet taylor.mw giver en kort introduktion til Taylorpolynomier i Maple. Afprøv worksheetet og eksperimenter med kommandoerne.

Opgaver

Regn opgaverne i den angivne rækkefølge. Vedr. opgave 6 nedenfor: De numeriske beregninger kan udføres på lommeregner (eller i Maple/Matlab). Det samme gælder den sidste opgave, Opgave K4-1.

Section 10.4, side 755 i E&P: Opgaverne 1, 3, 4, 13, 16.
Opgaverne 1, 3, 4, 13, 16.
Section 10.4, side 755 i E&P.
Regn først opgave 6. Vi har, at ln(2)=-ln(1/2). Brug dette og det fundne Taylor polynomium af grad 4 til at beregne to approksimationer til ln(2). Giv et skøn over fejlen i begge approximationer.
Opgave A
Opskriv et udtryk for det generelle Taylor polynomium af grad n for funktionen cos(x) med udviklingspunkt a=0. Opskriv også et udtryk for det generelle restled. Brug dette til at bestemme et n, så at de fire første decimaler i approximationen ved værdien af Taylor polynomiet til cos(0.1) er korrekte. NB! Man skal argumentere for værdien af n ved hjælp af vurderinger på restleddet. Det er ikke nok at lave et numerisk eksperiment for at bestemme n. Men det er fornuftigt at lave en numerisk udregning for at bekræfte, at man har fundet en brugbar værdi af n.

Miniprojekt 2: Partielle afledede

Miniprojekt 3: Anvendelser af planintegraler

Miniprojekt 4: Anvendelser af 2. ordens differentialligninger: harmonisk oscillator

Dagens program

Læs Section 4.9 (fra s. 281) i Saff et al. Regn nedenstående opgaver.

Opgaver

Exercises 4.9 (s. 290): 1, 2, 3, 5 & 7.

Genopfriskningsopgaver

Forslag til hjemmeopgaver for at repetere pensum

Forslag til hjemmeopgaver for at repetere gymnasiepensum

1: Trigonometriske funktioner og deres inverse

  1. Illustrer på en enhedscirkel, hvor man aflæser sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
  2. Tegn en retvinklet trekant. Navngiv siderne og vinklerne. Giv for en af vinklerne (ikke den rette vinkel) formler for cosinus, sinus og tangens.
  3. E&P Appendix C. p. A18. Opgaverne 15, 16, 18, 19, 21.

2: Polære koordinater

  • Hvad er $(x,y)$ koordinaterne for et punkt på enhedscirklen med vinkel $\frac{\pi}{4}$ (eller $45^\circ$). Klik her for at få svaret
  • Hvad er $(x,y)$ koordinaterne for et punkt på en cirkel med radius 3 med vinkel $\frac{\pi}{4}$. Klik her for at få svaret
  • Find centrum og radius for en cirkel med ligning $x^2+y^2-4x+2y-4=0$
  • Et punkt på grafen for en funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ har koordinater $(2,7)$. Hvad er $f(2)$? Kan man sige noget om $f(7)$ udfra denne oplysning? 

3: Kurver og bevægelse i rummet

  • Giv to forskellige parameterfremstilling for linjen i rummet gennem punkterne $[2,3,0]$ og $[1,1,1]$.
  • Udregn $D_x(f+g)(0)=(f+g)'(0)$, hvor $f(x)=e^x$ og $g(x)=-3x$.
  • Udregn $\int_2^4xdx$ og $\int_0^2xdx$. Brug disse resultater til at udregne $\int_0^4x dx$.

4: Buelængde og krumning

  • Udregn $h'(s)$, når $f(x)=x^2$, $g(s)=s+1$ og $h(s)=f\circ g(s)=f(g(s))$.
  • Når $F(x)$ er en stamfunktion for $f(x)$, hvad er så $F'(x)$?
  • Udregn $\int_0^tx^3dx$. Klik her for at få svaret
  • Udregn tværvektoren til $\mathbf{v}=[3,1]$
  • Reducér udtrykket $(4cos(t)+3sin(t))^2+(3cos(t)-4sin(t))^2$

6: Introduktion til funktioner af flere variable

Denne gang indeholder også repetition fra lineær algebrakurset. En reel funktion/afbildning har en definitionsmængde (engelsk: domain), vi skriver $f:D\to \mathbf{R}$. I opgaverne her er $D$ en delmængde af $\mathbf{R}$:

  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for en funktion med funktionsudtryk $f(x)=\frac{1}{x}$? Klik her for at få svaret
  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $g(x)=\ln(x)$? Klik her for at få svaret
  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $f(x)=\sqrt{x}$? Klik her for at få svaret
  • Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $f(x)=\sqrt{x-1}$? Klik her for at få svaret

7: Partielle afledede

Denne gang drejer det sig om tretrinsreglen for en funktion $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$. Tretrinsreglen er en blanding af en definition af den afledte $f'(x_0)$ og en opskrift på at finde $f'(x_0)$:

  1. Find funktionstilvæksten $\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)$
  2. Opskriv differenskvotienten $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
  3. Find (om muligt) grænseværdien $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$. Hvis denne grænseværdi eksisterer, så er det $f'(x_0)$

Opgave:

Funktionen $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ har funktionsudtryk(funktionsforskrift) $f(x)=4x^2$. Udregn $f'(2)$ ved at bruge tretrinsreglen. Tegn en graf for $f$ og indtegn $x_0$, $f(x_0)$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$ og sekantlinjer for $x_0=2$ og $h=2$, for $h=1$ og for $h=-1$. Udregn differenskvotienten for de tre værdier af $h$.

Vink: Her er en sekantlinje (for en anden funktion): http://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-calculus.svg

8: Optimering

  1. Find minimum for funktionen $f(x)=x^4-8x^2+3$
    Vink: Find først $f'(x)$ og dens nulpunkter. Minimum antages i et af disse punkter (Hvorfor?)
    Klik her for at få svaret
  2. Find de punkter, hvor funktionen $f(x)=x^3-3x+7$ har vandret tangent. Klik her for at få svaret
  3. Find maksimum og minimum for funktionen $f(x)=x^3-3x+7$ når $-2\leq x\leq 2$. Klik her for at få svaret

9: Kædereglen

  1. Funktionen $h(x)=f\circ g(x)$ og $g(x)=x^2$, $f(y)=\sin(y)$. Hvad er $h'(3)$? Klik her for at få svaret
  2. Funktionen $h(x)=e^{3x^2+3}$. $h(x)=f\circ g(x)$. Hvad kan $f$ og $g$ være? (Flere svar kan være rigtige...)
    1) $g(x)=x^2$, $f(y)=e^{3y+3}$
    2) $g(x)=e^x$, $f(y)=3y^2+3$
    3) $g(x)=3x^2+3$, $f(x)=e^y$
    4) $g(x)=x^2+1$, $f(y)=e^{3y}$
    Klik her for at få svaret
  3. Om funktionen $h(x)=f\circ g(x)$ oplyses, at $g'(2)=-1$, $g(2)=5$, $f'(5)=3$. Hvad er $h'(2)$? Klik her for at få svaret

10: Gradientvektor og de retningsafledede

  1. Lad $\mathbf{u}=<\cos(\theta),\sin(\theta)>$ og $\mathbf{v}=<v_1,v_2>$. Udregn $g(\theta)=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$. Klik her for at få svaret
  2. Udregn projektionen af vektoren $\mathbf{v}=<-1,3>$ på $\mathbf{w}= <3,3>$ og indtegn de tre vektorer i et koordinatsystem. Klik her for at få projektionen
  3. Udregn de partielle afledede af $f(x,y)=5x^3y^4 -2xy+6y+34$. Klik her for at få svaret

12: Integration af funktioner af to variable

  1. Udregn integralet $\int_2^32x dx$. Klik her for at få svaret
  2. Udregn det ubestemte integrale $\int x^3 dx$. Klik her for at få svaret
  3. Hvad er stamfunktionerne til

13: Mere om integration af funktioner af to variable

  1. Tegn linjestykket $y=2-x$ og $-1\leq x\leq 1$. Klik her for at få svaret
  2. Tegn linjestykket $x=y+3$ og $0\leq y\leq 2$. Klik her for at få svaret
  3. Tegn den figur i planen, som er givet ved $0\leq x \leq 1$ og $0\leq y\leq x$. Klik her for at få et vink. Klik her for at få svaret
  4. En trekant i planen har hjørnepunkter $P(1,0)$, $Q(2,1)$ og $R(2,4)$. Tegn trekanten og opskriv ligning for de linjer, der udgør dens kanter. Klik her for at få svaret

14: Planintegralet i polære koordinater

  1. Hvad er arealet af en cirkel med radius $r$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad er arealet af den "ring", der ligger mellem cirklen med radius $5$ og cirklen med radius $3$, begge med centrum i Origo? Klik her for at få svaret
  3. Hvad er arealet af den del af enhedscirklen, som ligger mellem vinklerne $\vartheta=0$ og $\vartheta=\frac{\pi}{4}$? Klik her for at få svaret
  4. Hvad er arealet af den del af "ringen" fra opg. 2, som ligger mellem $\vartheta=0$ og $\vartheta=\frac{\pi}{4}$? Klik her for at få svaret

15: Tripelintegraler

  1. Hvad er volumen af en kasse med højde $h$, bredde $b$ og længde $l$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad vejer en kasse med volumen $5 m^3$ og massefylde $500 kg/m^3$ Klik her for at få svaret
  3. Hvad er volumen af en cylinder med højde $7$ og radius $5$? Klik her for at få svaret

17: Komplekse tal

  1. Udregn $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$ eksakt. Klik her for at få svaret
  2. Udregn $(3+2\sqrt{5})+4-3\sqrt{5})$ eksakt. Klik her for at få svaret
  3. Udregn $(2+2\sqrt{3})(3+4\sqrt{3})$ eksakt. Klik her for at få svaret
  4. Ikke gymnasiestof, men fra tidligere i kurset:
    1. Et punkt i planen har polære koordinater $r=\sqrt{2}$ og $\rho=\frac{\pi}{4}$. Hvad er de kartesiske koordinater? Klik her for at få svaret
    2. Hvad er de polære koordinater til punktet $(3,4)$, hvis vi forlange $r\geq 0$ og $0\leq\rho < 2\pi$? Klik her for at få svaret

18: Den komplekse eksponentialfunktion

  1. Hvad er $e^{a+b}$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad er (den maksimale) definitionsmængde for den reelle funktion $f(x)=e^x$? Hvad er billedmængden? Klik her for at få svaret
  3. Hvad er $\frac{d}{dx}e^x$ og $\frac{d}{dx}e^{kx}$? Klik her for at få svaret
  4. Hvad er de anden afledte $\frac{d^2}{(dx)^2}\cos(x)$ og $\frac{d^2}{(dx)^2}\sin(x)$? Klik her for at få svaret
  5. Løs differentialligningen $f'(x)=f(x)$. (Den kan også skrives $\frac{dy}{dx}=y$ - sådan har I måske set den i gymnasiet.) Klik her for at få svaret

19: Komplekse polynomier og den binome ligning

  1. Find for følgende andengradspolynomier $p(x)$ rødderne og skriv $p(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
    1. $p(x)=x^2+x-2$. Klik her for at få svaret
    2. $p(x)=2x^2+18+12x$. Klik her for at få svaret
  2. Hvad er $\sqrt{e^4}$? Klik her for at få svaret
  3. Hvad er $\sqrt[3]{e^{12}}$? Klik her for at få et vink. Klik her for at få svaret.
  4. Hvad er $\sqrt[3]{8e^{12}}$? Klik her for at få svaret

20: Anden ordens lineære differentialligninger

  1. Vis, at $e^{3t}$ er en løsning til $y'(t)=3y(t)$.
  2. Vis, at $ke^{3t}$ er en løsning til $y'(t)=3y(t)$ for ethvert $k\in\mathbb{R}$.
  3. Vis, at funktionen $y(t)=5e^{t}$ er en løsning til ligningen $y''+5y'-6y=0$. Klik her for at få et vink
  4. Vis, at funktionen $y(t)=e^{6t}$ er en løsning til ligningen $y''+5y'-6y=0$. Klik her for at få et vink

21: Inhomogene 2. ordens ligninger. Superpositionsprincippet.

  1. Hvad er $(f+g)'(t)$? Klik her for at få svaret
  2. Hvad er $(af+bg)'(t)$? Klik her for at få svaret
  3. Om to funktioner $y_1(t)$ og $y_2(t)$ oplyses, at $y_1'(t)=t^3$ og $y_2'(t)=\frac{1}{cos(t)}$. Find de afledte af funktionerne (OBS: Uden først at finde $y_1(t)$ og $y_2(t)$)
    1. $f(t)=3y_1(t)$. Klik her for at få svaret
    2. $g(t)=y_1(t)+y_2(t)$. Klik her for at få svaret
    3. $h(t)=2y_1(t)+7y_2(t)$. Klik her for at få svaret

Gamle eksamensopgaver

Bemærk: Emnerne integraler i cylinder- og sfæriske koordinater samt den binome ligning indgår ikke længere i calculus eksamenspensum. Man kan derfor se bort fra opgaver vedr. disse emner i det nedenstående. Specifikt: Testsæt 1 opg. 9, juni 2011 opg. 9, august 2011 opg. 1 og 5, juni 2012 opg. 9, juni 2013 opg. 4.

Pensum

Lærebøger/litteratur

Vi anvender følgende undervisningsmateriale i foråret 2014:

  • C.H. Edwards & D.E. Penney (E&P), Calculus, 7th Edition, Prentice Hall 2008.
  • E.B. Saff et al. Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, 2010. (Købes i boghandlen samlet pakke med E&P.)
  • A. Jensen. Lecture notes on polynomials. Third Edition, 2014. Tryk her for at downloade pdf-filen.

Pensum

Fra Edwards and Penney:

  • Appendix C, A-13 til A-17
  • Section 6.8 frem til side 493 midt
  • Section 9.2
  • Section 10.4 frem til Taylor series side 749
  • Section 11.5
  • Section 11.6 frem til side 869 midt
  • Section 12.1
  • Section 12.2
  • Section 12.3
  • Section 12.4
  • Section 12.5
  • Section 12.7 til og med side 956
  • Section 12.8
  • Section 13.1
  • Section 13.2
  • Section 13.3
  • Section 13.4
  • Section 13.5 dog ikke Pappus sætning
  • Section 13.6


Fra Saff et al.

Complex numbers:

  • Chapter 1, afsnit 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5

Differential equations:

  • Chapter 1, afsnit 1.1 og 1.2 (motivation og løsningsbegrebet)
  • Chapter 4, afsnit 4.1, 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.9

Polynomier:

  • Arne Jensen: Lecture Notes on Polynomials. Third Edition, 2014. Side 1-7.