Lineær algebra


Litteratur

  • [Geil] Olav Geil, "Elementary Linear Algebra". Pearson, 2015. ISBN: 978-1-78448-372-2

Supplerende litteratur

MATLAB

Brugen af Matlab indgår som en integreret del af de fire kursusgange uden forelæsning samt i et vist omfang også i øvrige kursusgange. Studerende kan frit downloade Matlab via IKT linket på http://www.tnb.aau.dk/. Find yderligere information i MATLAB-centret (bl.a. en video, der viser hvordan MATLAB installeres).

Eksamen

Kurset evalueres ved en fire timers digital, skriftlig eksamen uden brug af elektroniske hjælpemidler. Du må medbringe alle former for noter og bøger. Se også fanen Eksamensinformation.

Afleveringsopgaver

Der stilles skriftlige opgaver i kurset. Findes éns studie på listen herunder, er det en forudsætning for deltagelse i eksamen, at man får godkendt mindst 10 ud af 18 afleveringer. Opgaverne er af et omfang, som svarer til at en besvarelse ca. fylder en håndskrevet A4-side.

Er studiet ikke på listen, kan man stadig aflevere skriftlige opgaver og få dem rettet.

Afleveringsopgaverne til hver kursusgang findes under Kursusplanen .

  • Applied Idustrial Electronics (Esbjerg)
  • Biologi (Aalborg)
  • Bioteknologi (Aalborg)
  • Bygge- og anlægskonstruktion (Esbjerg)
  • Byggeri og anlæg (Aalborg)
  • Byggeri og anlæg (Esbjerg)
  • Bæredygtig energiteknik (Aalborg)
  • Chemical Engineering and Biotechnology (Esbjerg)
  • Eksportteknologi (Aalborg)
  • Energi (Aalborg)
  • Energi (Esbjerg)
  • Energy engineering (Aalborg)
  • Fysik (Aalborg)
  • Globale forretningssystemer (Aalborg)
  • Kemi (Aalborg)
  • Kemi og bioteknologi (Aalborg)
  • Kemi og bioteknologi (Esbjerg)
  • Kemiteknologi (Aalborg)
  • Manufacturing and Operations Engineering (København)
  • Maskin og produktion (Aalborg)
  • Maskinkonstruktion (Esbjerg)
  • Maskinteknik (Aalborg)
  • Maskinteknik (Esbjerg)
  • Matematik (Aalborg)
  • Matematik-teknologi (Aalborg)
  • Matematik-økonomi (Aalborg)
  • Miljøvidenskab (Aalborg)
  • Nanoteknologi (Aalborg)
  • Sustainable Biotechnology (København)

Kursusplan

Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Bemærk, at de fire selvstudiegange afholdes sideløbende med de 18 ordinære kursusgange.

Brugsanvisning til opgaverne:

  • Opgaverne er struktureret efter indhold.
  • Regn først de opgaver, der er markeret med fed,i den rækkefølge, de står. Gå så tilbage og regn deresterende.
  • Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få.
  • Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7.gang skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til første gang.
  • Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes naturligvis til eksamen, men udover det, så er det helt fundamentalt for anvendelser af matematik, at man forstår hvorfor og hvornår en given metode virker.

1. kursusgang

Forelæsning: Introduktion til vektorer og matricer: 1.1, 6.1 p. 361-366, dog læses på s. 364 - 365 kun sætningerne. 1.2 til p.19 nederst.

Pencasts: Matrix-vektorprodukt, Linearkombinationer

Opgaver:

  • Afsnit 1.1
    • Addition og multiplikation med en skalar. opg. 1,3,7.
    • Transponering opg. 5,11,9.
    • Kan to givne matricer adderes: 19, 21,
    • Test din forståelse af matricer og vektorer: Sandt/Falsk 37-39, 41,42, 44-56.
  • Afsnit 6.1
    • Beregn norm af og afstand mellem vektorer 1, 7.
    • Er to vektorer ortogonale: 9, 15
  • Afsnit 1.2
    • Matrixvektorprodukt: 1,3,5, 7 9,11,15. Vink: Pencast.
    • Linearkombinationer: Skriv en vektor som en linearkombination af en mængde af vektorer: 29, 33, 31, 35, 39
    • Test din forståelse af linearkombinationer. 45-51.
  • Afsnit 1.1
    • Symmetriske matricer 71, 72, 75.
    • Bestem søjler og rækker i en matrix 29, 31
    • Skævsymmetriske matricer 79, 80, 81

Afleveringsopgaver: 7 i afsnit 1.2; 1, 9 i afsnit 6.1.

2. kursusgang

Forelæsning: Matrixvektorprodukt og lineære ligningssystemer: 1.2 fra p. 19, 1.3

Pencasts: Matrix-vektorprodukt

Opgaver:

  • Afsnit 1.2.
    • Opskriv 2 × 2 rotationsmatricer. 17, 19
    • Test din forståelse af matrix-vektorproduktet. 51-64
  • Afsnit 1.3.
    • Opstil koefficientmatricen og den udvidede matrix for et ligningssystem: 1,3,5.
    • Rækkeoperationer: 7,9,11.
    • Afgør, om en vektor er løsning til et ligningssystem. 23, 25.
    • Afgør, om et ligningssystem er konsistent udfra den reducerede echelonform. Find i så fald den generelle løsning. 39, 43, 41.
    • Som ovenfor, men skriv desuden den generelle løsning på vektorform. 47, 49.
    • Test din forståelse af Lineære ligningssystemer og tilhørende matricer. 57-76

Afleveringsopgaver: 17 i afsnit 1.2; 23 i afsnit 1.3.

3. kursusgang

Forelæsning: Gauss-elimination. Span. 1.4 og 1.6

Pencasts: Rækkeoperationer del 1/2 og del 2/2, Reduceret matrix og ligningssystemets løsning

Opgaver:

  • Afsnit 1.4:
    • Bestem, om et lineært ligningssystem er konsistent. Find i så fald den generelle løsning. 1,5,9,3,7,11
    • Bestem rang og nullitet for en matrix. 37, 35.
    • Test din forståelse af Gauss-elimination: 53-72.
  • Afsnit 1.6.
    • Er vi Span( S)?. 1,3,7
    • Er v i Span(S)? En koordinat i v er ubekendt. 17, 19
    • Er Ax = b konsistent for alle b? 31,33.
    • Test din forståelse af span. 45-64.
    • Om sammenhængen mellem Span(S) og span af linearkombinationer af S. 71, 72.
    • Konsekvenser for rækkeoperationer: 77, 78.
  • Afsnit 1.4:
    • Ligningssystemer, hvor en koefficient er en ubekendt, r. Bestem for hvilke r, systemet er inkonsistent. 17, 19,21

Afleveringsopgaver: 5, 37 i afsnit 1.4; 17 i afsnit 1.6.

4. kursusgang

Forelæsning: Lineær uafhængighed: 1.7

Pencasts: Lineær afhængighed: del 1/2 og del 2/2, Lineær uafhængighed

Opgaver:

  • Afsnit 1.7.
    • Bestem, om en mængde vektorer er lineært afhængige. 1,5,7,9,11
    • Find en lille delmængde af S, med samme span som S.13, 15.
    • Bestem om en mængde af vektorer er lineært uafhængig. 23,25,27
    • Test din forståelse af lineær (u)afhængighed 63-82.
    • En mængde af vektorer, hvor en vektor indeholder en ubekendt r. Bestem for hvilke r, om nogen, mængden er lineært afhængig. 41.
  • Regn gamle opgaver fra kursusgang 1-3

Afleveringsopgaver: 23, 41 i afsnit 1.7.

5. kursusgang

Forelæsning: Lineære afbildninger og matrixrepræsentationer. 2.7. 2.8 til s. 185 midt. (Generelt om funktioner.(Injektive, surjektive og bijektive), se Appendix B)

Pencasts: Lineære afbildninger og matricer

Opgaver:

  • Afsnit 2.7.
    • T : X Y er induceret af en matrix. Find X og Y . 1, 3
    • Find billedet af en vektor ved den lineære transformation induceret af en matrix. 7, 11
    • Udfra forskriften for T bestemmes n og m, så T : n m. 21 23
    • Bestem standardmatricen for en lineær afbildning. 25, 27, 29,31, 33
    • Test din forståelse af lineære afbildninger og matrixrepræsentation. 35-54.
  • Afsnit 2.8.
    • Bestem en udspændende mængde for billedmængden. 1,3
    • Afgør om følgende funktioner er surjektive (onto), injektive (one-to-one), bijektive.
      • f : , f(x) = x2 + 1
      • g : , g(x) = x3 + 1
      • h : Mængden af danske statsborgere h(x) er CPR-nummeret for x.
      • 61, 65.
    • Afgør ved at finde en udspændende mængde for nulrummet, hvorvidt en afbildning er injektiv. 13, 15, 17
    • Afgør ved at finde standardmatricen, hvorvidt en given lineær afbildning er injektiv. 25, 29, surjektiv. 33, 35.
    • Test din forståelse af afsnit 2.8 (til side 185). 41-55.
  • Afsnit 2.7.
    • Hvis T er lineær og vi kender T(v), hvad er så T(cv). 57
    • Afgør, om T : n m er lineær. 77, 73, 79

Afleveringsopgaver: 3, 7, 79 i afsnit 2.7; 27 i afsnit 2.8.

6. kursusgang

Forelæsning: Multiplikation af matricer, sammensætning af lineære afbildninger. 2.1 og 2.8 p.185 midt, til 187

Pencasts: Produkt af matricer del 1/2 og del 2/2

Opgaver:

  • Afsnit 2.1.
    • Bestem, om produktet af to matricer er defineret og find størrelsen, m × n, af produktet. 1,3
    • Udregn matrixprodukter. 5, 9, 11, 7.
    • Udregn en bestemt indgang i produktmatricen. 25
    • Test din forståelse af produkt af matricer. 33-50.
  • Afsnit 2.8.
    • Bestem en forskrift for den sammensatte afbildning U T udfra U og T. 69.
    • Bestem standardmatricerne for T, U og U T. 70, 71,72.
    • Test din forståelse af afsnit 2.8 - om sammensatte afbildninger og deres matricer. 56-58.
  • MatLab: Afsnit 2.1 opg. 53

Afleveringsopgaver: 15 i afsnit 2.1; 69, 70 i afsnit 2.8.

7. kursusgang

Forelæsning: Inverterbare matricer og invertible lineære transformationer.2.3, 2.4 og 2.8 p.187-188

Pencasts: Regulære matricer, Elementære matricer og rækkeoperationer, Inverse matricer ved Gausselimination

Opgaver:

  • Afsnit 2.3.
    • Bestem, om B = A1. 1,3
    • Givet A1 og B1. Udregn den inverse af kombinationer af A og B. 9, 11.
    • Find den inverse for elementære matricer. 17, 19.
    • Givet A, B, find elementære matricer, så EA = B. 25, 29.
  • Afsnit 2.4. Givet en matrix. Er den invertibel? Find i så fald den inverse. 1, 3, 5, 9, 13
  • Afsnit 2.8 Sammenhængen mellem invertible matricer og invertible lineære afbildninger. 59,60.
  • Afsnit 2.4.
    • Rækkereduktionsalgoritmen til beregning af A1B. 19
    • Test din forståelse 35-54.
    • Løs et lineært ligningssystem ved invertering af koefficientmatricen. 57.
    • Rækkereduktion til at bestemme reduceret echelonform R af A og samtidig P, så PR = A. 27.
  • Afsnit 2.3
    • Søjlekorrespondenceprincippet. 67.
    • Skriv en søjle som linearkombination af pivotsøjlerne. 75.
  • MatLab. Afsnit 2.8. Bestem standardmatricen for en lineær afbildning. Beregn den inverse matrix (MatLab). Find en forskrift (“rule”) for den inverse afbildning. 100

Afleveringsopgaver: 67 i afsnit 2.3; 19, 57 i afsnit 2.4.

8. kursusgang

Forelæsning: Determinanter. 3.1 og 3.2 til p. 217 l.9.

Pencasts: Determinanter. 2x2 og 3x3, Determinanter og rækkeoperationer, Søjlerum og rækkerum, Nulrum for en matrix

Opgaver:

  • Afsnit 3.1
    • Determinant af en 2 × 2 matrix. 1, 3, 7. Beregn også den inverse ved at bruge formlen side 200.
    • Determinant af en 3 × 3 matrix ved kofaktormetoden. 13, 15
    • Beregn determinanter - frit valg af metode. 21, 23.
    • Determinant af 2 × 2 matrix og areal. 29
    • Determinant og invertibilitet. 37.
    • Test din forståelse af determinanter og kofaktorer. 45-64
  • Afsnit 3.2
    • Beregn determinanter- udvikling efter en given søjle, 1, 5
    • Beregn determinanter ved brug af rækkeoperationer. 13, 15, 21, 23
    • Test din forståelse af determinanters egenskaber. 39-58.
  • Afsnit 3.1 Vis formlen det(AB) = det(A)det(B) for 2 × 2 matricer. 71
  • Afsnit 3.2 Vis formlen det(B1AB) = det(A) for n × n matricer A og B, hvor B er inverterbar. 71

Afleveringsopgaver: 23, 26, 38 i afsnit 3.1; 13 i afsnit 3.2.

9. kursusgang

Forelæsning: Underrum, basis for underrum. 4.1 og 4.2 til p.245, mid.

Pencasts: Basis for et underrum

Opgaver:

  • Afsnit 4.1
    • Find en udspændende mængde for et underrum. 1, 5, 9.
    • Er en vektor i nulrummet for en given matrix. 11, 15
    • Er en given vektor i søjlerummet for en given matrix. 19,21
    • Find en udspændende mængde for nulrummet af en matrix. 27, 29
    • Test din forståelse af underrum, nulrum, søjlerum. 43-62.
    • Vis, at en mængde ikke er et underrum. 81
    • Vis, at en mængde er et underrum. 89
    • Nulrum for en lineær afbildning er et underrum. 96.
  • Afsnit 4.2.
    • Find en basis for nulrum og søjlerum for en matrix. 1, 3, 5.
    • Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation 9,
  • Afsnit 4.1 Find en udspændende mængde for søjlerummet for en matrix. Med et foreskrevet antal elementer. 67, 69 .

Afleveringsopgaver: 11, 21, 81 i afsnit 4.1; 1 i afsnit 4.2.

10. kursusgang

Forelæsning: Dimension, Rang og nullitet. Resten af 4.2, 4.3

Pencasts: Basis og dimension af nulrum, søjlerum, rækkerum

Opgaver:

  • Afsnit 4.2
    • Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation. 9, 11, 13 15
    • Find en basis for et underrum 17, 19, 23
    • Test din forståelse af Basis og dimension. 33-52.
  • Afsnit 4.3.
    • Bestem dimension af søjlerum, nulrum og rækkerum for en matrix A samt nulrum for AT .
      • Når A er på reduceret echelonform. 1, 3.
      • Generelt. 7.
    • Bestem dimensionen af et underrum. 15
    • Find en basis for rækkerum. 17, 19.
    • Test din forståelse af dimension af underrum hørende til matricer. 41-60.
    • Vis, at en given mængde er en basis for et givet underrum. 61, 63.
  • Afsnit 4.2
    • Forklar, hvorfor en given mængde ikke udspænder. (Vink: opg. 44), 55
    • Forklar, hvorfor en given mængde ikke er lineært uafhængig.(Vink: Opg.46) 57.

Afleveringsopgaver: 9, 23 i afsnit 4.2; 1, 7 i afsnit 4.3.

11. kursusgang

Forelæsning: Koordinatsystemer. 4.4

Opgaver:

  • Afsnit 4.4.
    • Find v udfra [v] og . 1, 7
    • Når v er givet som en linearkombination af elementer i en basis , hvad er så [v]? 13
    • Find [v] udfra og v. 15, 17, 19
    • Skriv en vektor som en linearkombination af en mængde vektorer. 25, 27
    • Test din forståelse af koordinatsystemer. 31-50
    • Hvad er sammenhængen mellem matricen [[e1][e2]] og matricen, hvis søjler er vektorerne i . 51, 53
    • En basis for planen er givet ved rotation af standardbasen. Hvad er sammenhængen mellem v og [v]. 55, 67, 75
    • Ligning for keglesnit før og efter basisskift. 79
    • Hvad betyder det, at der findes en vektor v, så [v]A = [v]B? 99.

Afleveringsopgaver: 7, 23, 53 i afsnit 4.4.

12. kursusgang

Forelæsning: Lineære transformationer og koordinatsystemer. 4.5

Opgaver:

  • Afsnit 4.5
    • Bestem matricen for T mht. . 1,3,7
    • Bestem standardmatricen for T udfra [T] og . 11, 15
    • Test din forståelse af matrixrepræsentationer af lineære operatorer 20-23, 25-38
    • Bestem [T], standardmatricen for T og en forskrift for T udfra T(bi) for alle b . 47, 49, 51
    • Find [T] udfra T(bi) som linearkombination af . Find så T(w), hvor w er en linearkombination af . 39, 55 43,59

Afleveringsopgaver: 7, 15, 39, 47 i afsnit 4.5.

13. kursusgang

Forelæsning: Egenvektorer og og egenværdier. 5.1 og 5.2 til p. 307

Opgaver:

  • Afsnit 5.1
    • Vis, en vektor er en egenvektor. 3, 7
    • Vis, en skalar er en egenværdi. 13, 21
    • Test din forståelse af egenværdier og egenvektorer. 41-56, 57-60
  • Afsnit 5.2
    • Find egenværdier og en basis for de tilhørende egenrum
      • For en matrix - givet dens karakteristiske polynomium 1, 3,11
      • For en matrix. 15, 19
      • For lineær operator -givet dens karakteristiske polynomium. 31
      • For en lineær operator. 37
    • Har en 2 × 2 matrix nogen (reelle) egenværdier? 41
    • Test din forståelse af det karakteristiske polynomium, multipliciteter af egenværdier. 53-59, 61,63-65, 69-72.
    • Sammenhængen mellem egenrum for B og cB 81.
    • Sammenhæng mellem egenværdier (og egenvektorer?) for B og BT 83.

Afleveringsopgaver: 3 i afsnit 5.1; 1, 15, 37 i afsnit 5.2.

14. kursusgang

Forelæsning: Diagonalisering. 5.3

Opgaver:

  • Afsnit 5.3
    • Givet en matrix A og dens karakteristiske polynomium. Find P og en diagonalmatrix D, så A = PDP1 eller forklar, hvorfor A ikke er diagonaliserbar. 1, 3, 5,7,9
    • Som ovenfor, men det karakteristiske polynomium er ikke givet. 13, 15 17
    • Test din forståelse af diagonalisering af matricer. 29-37, 39-43, 45,46
    • Udfra egenværdier og deres multiplicitet afgøre, om A er diagonaliserbar. 49, 51
    • Udfra egenværdier og en basis for egenrummene udregnes Ak. 57, 59
    • En matrix og dens karakteristiske polynomium er givet. Der indgår en ubekendt. For hvilke værdier er matricen ikke diagonaliserbar. 63

Afleveringsopgaver: 7, 13, 17, 50 i afsnit 5.3.

15. kursusgang

Forelæsning: Ortogonalitet, Gram Schmidt, QR-faktorisering. 6.2

Pencasts: Gram Schmidt

Opgaver:

  • Afsnit 5.5 - Disse opgaver bygger på selvstudium 3
    • Find den generelle løsning til et system af differentialligninger. 45
    • Find i opgave 45 den løsning, der opfylder y1(0) = 1 og y2(0) = 4. (Facit: y1(t) = e3t + 2e4t. y2(t) = 3e3t + e4t)
    • Test din viden om systemer af differentialligninger. 8-11
  • Afsnit 6.1 (genopfriskning)
    • Test din forståelse af skalarprodukt og ortogonalitet. 61-70, 73-80
  • Afsnit 6.2
    • Bestem, hvorvidt en mængde vektorer er ortogonal. 1, 3, 7
    • Brug Gram-Schmidt. 9,11,13, 15
    • QR-faktorisering. 25,27,29, 31
    • Løs ligningssystemer ved QR-faktorisering. 33, 35, 37,39. OBS: Vis, at de fundne løsninger til Rx = QT b også løser Ax = b.
    • Test din forståelse af Gram-Schmidt og QR-faktorisering. 41-52

Afleveringsopgaver: 9, 25, 33 i afsnit 6.2.

16. kursusgang

Forelæsning: Ortogonale projektioner. 6.3

Pencasts: Projektionsmatricer

Opgaver:

  • Afsnit 6.1 (genopfriskning) Projektion på en linje. 43, 45
  • Afsnit 6.3
    • Find en basis for det ortogonale komplement. 1, 3, 5
    • Skriv en vektor u som en sum u = w + z, hvor w W and z W. 9,11
    • Som ovenfor. Desuden: Find matricen PW for ortogonal projektion på W, find afstand til W. 17,19,21 Vink til 21: Pas på, søjlerne i A er ikke lineært uafhængige.
    • Tjek din forståelse af ortogonal projektion og ortogonalt komplement. 33-56.
    • Hvad er det ortogonale komplement til det ortogonale komplement? 63
    • Hvad er (PW )2 og (PW )T . 67
    • Find PW udfra en ortonormal basis for W. 75

Afleveringsopgaver: 9, 17, 67 i afsnit 6.3.

17. kursusgang

Forelæsning: Ortogonale matricer. Ortogonale afbildninger i planen 6.5 til s. 419.

Opgaver:

  • Afsnit 6.5
    • Genkend en ortogonal matrix. 1, 4, 5,3
    • Bestem, om en ortogonal 2 × 2 matrix er en spejling eller en rotation og find spejlingsakse eller rotationsvinkel. 9, 11
    • Ortogonale matricer og egenværdier. 49
    • Lad Qx og Qz være matricerne for rotation 90 om hhv. x-aksen og z-aksen. Qx = 10 0 0 0 1 0 1 0 Qz = 0 10 1 0 0 0 0 1

      Lad Q = QxQz være matricen for den sammensatte afbildning. Det er også en rotation. Find egenrummet hørende til egenværdien 1 og dermed rotationsaksen.(Facit: Span([1 11]T ))

  • Del II af Eksamenssættet fra 8.januar 2013

    Bemærk, at der er flere typer multiple choice opgaver.

Afleveringsopgaver: 1, 5, 9, 11 i afsnit 6.5.

18. kursusgang

Forelæsning: Stive flytninger. 6.5 p.419-421. Repetition - gennemgå eksempelvis et eksamenssæt i store træk.

Opgaver:

  • Afsnit 6.5
    • Bestem forskriften for stive flytninger. 61, 62, 64
  • Gamle eksamensopgaver

Afleveringsopgaver: 61, 64 i afsnit 6.5.

Selvstudiegange

Ved alle selvstudiegange skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).

Selvstudium 1

Opgaven understøttes af screencast 2 og 3, der kan findes i MATLAB-centret.

I opgave 3 på side 90 nævnes funktionen rotdeg. Denne kan hentes her.

Litteratur: Appendix D

Selvstudium 2

Opgaven understøttes af screencast 4 og 5, der kan findes i MATLAB-centret.

Litteratur: Appendix D

Selvstudium 3

Tryk her for at downloade Matlab-kode, der henvises til i opgaven. Bemærk, at det er en zip-fil (bestående af 5 m-filer, der er blevet komprimeret). Filen skal altså pakkes ud efter download.

Opgaven understøttes af screencast 6, der kan findes i MATLAB-centret.

Litteratur: Appendix D

Selvstudium 4

I forbindelse med selvstudiet, skal følgende MATLAB-filer anvendes:

Opgaven understøttes af screencast 7, der kan findes i MATLAB-centret.

Litteratur: Appendix D


Warning: include(cas-dan.php) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /srv/web/first.math.aau.dk/http/content/2018e/linalg/index-dan.php on line 32

Warning: include() [function.include]: Failed opening 'cas-dan.php' for inclusion (include_path='.:/srv/web/first.math.aau.dk/php-lib:/usr/share/php') in /srv/web/first.math.aau.dk/http/content/2018e/linalg/index-dan.php on line 32

Gamle eksamensopgaver

Bemærk: ny struktur i prøvens opbygning. Relevant fra og med foråret 2016.

Tidligere eksamensopgaver

Pensum

Litteratur:
  • [Geil] Olav Geil, "Elementary Linear Algebra". Pearson, 2015. ISBN: 978-1-78448-372-2:

Pensum ([Geil]):

  • Matrices Vectors and Systems of Linear Equations: Afsnit 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7
  • Matrices and Linear Transformations: Afsnit 2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.8
  • Determinants: Afsnit 3.1, 3.2 til side 217 l.9
  • Subspaces and their Properties: Afsnit 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
  • Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalization: Afsnit 5.1, 5.2 til side 307 nederst, 5.3
  • Orthogonality: Afsnit 6.1 til side 366, 6.2, 6.3, 6.5.
  • Appendix D
  • Selvstudiegangene 1-4

Matematik-cafe

Har du svært ved lineær algebra og/eller calculus på første studieår og er du opsat på at gøre noget ved det?

Så er Matematik-cafe lige noget for dig. Det kører med jævne mellemrum på alle tre campuser (tid og sted fremgår nedenfor). Det er et ekstra tilbud om matematikhjælp et par timer, hvor en hjælpelærer er klar til at forklare, hvordan du kommer videre i den opgave, du gik i stå med til sidste opgaveregning. Det kræver blot, at du tilmelder dig ved at sende en email til hjælpelæreren senest et døgn før den planlagte dato. Hvis hjælpelæreren ikke har modtaget nogen email på dette tidspunkt, aflyses Matematik-cafe uden varsel. Du kan altså kun regne med at få hjælp, hvis du har sendt en email rettidigt og fået svar på denne! I emailen bedes du kort beskrive, hvad du har brug for hjælp til (typisk en bestemt opgave), uden at det behøver være en lang mail.

Bemærk: Dette er et ekstra tilbud om matematik-hjælp ud over den almindelige studietid, så det er absolut ikke en gyldig undskyldning for ikke at deltage i andre kursusaktiviteter og projektarbejdet.

Aalborg (email: tmort15@student.aau.dk)

De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):

  • Mandag 8/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Onsdag 10/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Onsdag 17/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Torsdag 18/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Mandag 22/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Fredag 26/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Mandag 29/10-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Torsdag 1/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Mandag 5/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Onsdag 7/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Mandag 12/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Onsdag 14/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Tirsdag 20/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Torsdag 22/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Mandag 26/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Torsdag 29/11-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Mandag 3/12-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Onsdag 5/12-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Tirsdag 11/12-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.
  • Torsdag 13/12-18 kl. 16:15-17:45 i Auditorium 1.

Esbjerg (email: baq@civil.aau.dk)

Her kører matematik-cafeen generelt onsdag eftermiddag.
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):

  • Onsdag 17/10-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 24/10-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 31/10-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 7/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 14/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 21/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 28/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 5/12-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 12/12-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.
  • Onsdag 19/12-18 kl. 16:15-17:45 i lokale B206.

København (email: roenby@math.aau.dk)

Her afholdes matematik-cafeen generelt mandag eftermiddag.
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):

  • Mandag 17/9-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 24/9-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 1/10-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 29/10-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 5/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 12/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 19/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 26/11-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Mandag 3/12-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.
  • Onsdag 12/12-18 kl. 16:15-17:45 i lokale 0.108, FKJ10A.

Matematikevent

Vil du både gerne blive bedre til matematik inden eksamen og samtidig se, hvordan matematikken på første studieår kan anvendes?

Så er arrangementet Lørdags-matematik lige noget for dig. Arrangementet afholdes både i Aalborg og København på følgende tid og sted:

  • Aalborg: 10. november 2018 kl. 9:30-15:00. Auditorium 1, Badehusvej
  • København: 17. november 2018 kl. 9:30-15:00. Lokale 0.108 i bygning D, FKJ10A

Denne dag vil bestå af to miniprojekter, hvor underviser vil give en kort præsentation af hvert emne (et om formiddagen og et om eftermiddagen), og herefter være til rådighed til at hjælpe jer gennem opgaverne. De to miniprojekter er præsenteret nedenfor og vil begge gøre brug af det materiale, I har fået præsenteret i lineær algebra i semesteret indtil nu. Gennem både papir-og-blyant opgaver og med opgaver i MATLAB vil miniprojekterne være med til at styrke jeres færdigheder i faget. Derfor er dette en god mulighed for at øve på sit lineær algebra og for at træne til eksamen.

Der serveres en gratis sandwich til frokost, og det er derfor nødvendigt at tilmelde sig ved at udfylde formularen nedenfor senest tirsdag den 6. november 2018.

Tilmelding til arrangementet er lukket

Mini-projekt 1: Billedrepræsentationer

I dette miniprojekt vil vi arbejde med, hvordan billeder kan repræsenteres ved hjælp af matricer og benytte lineær algebra til at transformere billeder på forskellig vis. Ved brug af lineær algebra kan vi f.eks. spejle billedet omkring en linje, udføre rotationer samt translationer.

Vi vil undersøge forskellige transformationer af billeder, og derfor vil opgaverne naturligt føre os over i MATLAB og give anledning til at afprøve sig selv her. Der er ligeledes et teoretisk aspekt af hver opgave, når vi forklarer hvilken type specifik transformation, vi skal benytte og hvorfor. Her får vi brug for papir, blyant og gode matematiske argumenter.

Til dette miniprojekt bruges følgende materiale.

Mini-projekt 2: Computergrafik og planeters omløbsbaner

Dette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner.

Hvis vi antager, at omløbsbaner er cirkulære, så kan vi betragte dem ved fortløbende at tage produktet mellem rotationmatricer og vektoren, som beskriver planetens position. Vi vil skabe en grafisk simulation af planetens omløbsbane rundt om solen ved at plotte produktet mellem planetens positionsvektor og en rotationmatrix på hvert billede, og så plotte adskillige billeder per sekund. Det næste trin vil være at tilføje en satellit, som kredser om planeten, ved at anvende lignende teknikker. I dette tilfælde vil vi bruge affine rotationmatricer, hvis centrum varierer med tiden.

I miniprojektet vil I have mulighed for at arbejde med affine rotationmatricer, deres geometriske fortolkning, og hvordan man programmerer en simulation i MATLAB af en genstands bevægelse.

Til dette miniprojekt bruges følgende materiale.

Eksamen

Eksamen afholdes som en digital stedprøve. Det vil sige, at man skal møde ind ligesom for almindelige skriftlige eksamener, men at eksamenssættet skal besvares online i Moodle.

Alle studerende skal selv medbringe en computer med internetadgang, men det er kun tilladt at bruge DigitalEksamen og Moodle – digitale noter er ikke tilladt. For at undgå snyd, skal programmet ITX-Flex være slået til under eksamen. Dette skal installeres på forhånd; hvordan kan ses i AAU's officielle vejledning.

Det anbefales at benytte én af følgende browsere til at besvare eksamenssættet i Moodle: Chrome, Firefox, Opera eller Safari. Det er principielt muligt at besvare sættet i Internet Explorer eller Edge, men spørgsmålenes layouts kan være uhensigtsmæssige.

Under eksamenen

Ved eksamenens begyndelse skal du logge på både DigitalEksamen og ITX-Flex. Her findes et link til Moodle, hvor selve besvarelsen foregår.

I Moodle skal du vælge mellem et dansk eller engelsk eksamenssæt – dette sprog kan kun vælges én gang. Vælg gerne sprog inden eksamen, så du er klar på dagen. Når sproget er valgt, låses det tilsvarende eksamenssæt op ved eksamenens begyndelse. Besvar spørgsmålene som til enhver anden multiple-choice-prøve.

Aflevering

Når du er færdig med din besvarelse, skal du først aflevere i Moodle. Herefter skal du hente én af formularerne, der ligger under fanen “Eksamensopgave” i DigitalEksamen/ITX-Flex. Denne skal udfyldes med navn og studienummer og afleveres i DigitalEksamen. Dette er vigtigt, da din besvarelse ellers ikke kan bedømmes. Når besvarelsen i Moodle lukker, har du yderligere 10 minutter til at aflevere i DigitalEksamen.

Bemærk, at der kun kan afleveres én gang i Moodle. Når en besvarelse er indsendt, kan den ikke ændres. Desuden afleveres alle påbegyndte besvarelser automatisk i Moodle, når eksamenen slutter.

Hvad er tilladt?

Det er tilladt at bruge håndskrevne, udskrevne eller kopierede noter, samt lærebøger.

Det er ikke tilladt at bruge elektroniske hjælpemidler. Det er heller ikke tilladt at bruge andre internetsider end DigitalEksamen og prøvesiden i Moodle.

Mere information

For mere information omkring eksamen og de gældende regler, henvises til de retningslinjer, som kan findes på Moodle-rummet for eksamener på første studieår.

Eksamensforberedelse inden eksamen

Pensum til eksamen er under menupunkter "Pensum" og opgaverne til eksamen vil falde indenfor dette. Det er en god ide at komme igennem hele pensum ved at bruge oversigterne fra kursusgangene.

Eksempel: Opgaverne om egenværdier og egenvektorer er opdelt i

  • Afsnit 5.1
    • Vis, en vektor er en egenvektor. 3, 7
    • Vis, en skalar er en egenværdi. 13, 21
    • Test din forståelse af egenværdier og egenvektorer. 41-56, 57-60
  • Afsnit 5.2
    • Find egenværdier og en basis for de tilhørende egenrum
      • For en matrix - givet dens karakteristiske polynomium 1, 3,11
      • For en matrix. 15, 19
      • For lineær operator - givet dens karakteristiske polynomium. 31
      • For en lineær operator. 37
    • Har en $2 \times 2$ matrix nogen (reelle) egenværdier? 41
    • Test din forståelse af det karakteristiske polynomium, multipliciteter af egenværdier. 53-59, 61,63-65, 69-72.
    • Sammenhængen mellem egenrum for $B$ og $cB$ 81.
    • Sammenhæng mellem egenværdier (og egenvektorer?) for $B$ og $B^\top$ 83.

Overvej de overordnede principper.
Hvilke emner hænger sammen med andre/bygger på andre. Lav en oversigt for dig selv og/eller tal om det i gruppen.

Husk True/False.
Brug disse opgaver til at gennemskue detaljer i pensum.

Regn så eksamensopgaver - formål: At se, hvordan vi formulerer opgaver. At øve dig i de forskellige versioner af Multiple Choice. OBS: Eksamensopgaver, som ikke er Multiple Choice, kan sagtens være relevante. Den eneste forskel er, hvordan man har mulighed for at svare.

Spørgetimer

Der tilbydes hjælp til at forberede sig til den kommende eksamen i både calculus og lineær algebra på alle tre campusser. Denne hjælp består af spørgetid, hvor man kan stille spørgsmål indenfor kurset og få hjælp til konkrete opgaver. I spørgetiden kan man også løse opgaver på egen hånd og spørge, når man går i stå. Der tages udgangspunkt i de gamle eksamensopgaver, som er tilgængelige her på first.math.aau.dk, og det anbefales at man regner så mange som muligt på forhånd, så man ved, hvor man har problemer. Det bemærkes at hjælpelærerne ikke kommer rundt i jeres grupperum, men derimod sidder alle samlet og regner opgaver enkeltvis eller i små grupper i lokalerne angivet nedenfor.

Aalborg

Hjælpelærere står til rådighed til at besvare spørgsmål fredag d. 11. januar og lørdag d. 12. januar. Om fredagen er to hjælpelærere til stede i tidsrummet 12:00-15:00, og om lørdagen tre hjælplærere i tidsrummet 08:00-11:00. Spørgetimerne finder sted i Auditorium 6 og 7.

Forud for reeksamen står hjælpelærerne til rådighed mandag d. 18. februar 16:00–19:00. Dette finder sted i Auditorium 1 og 2.

København

Der afholdes en spørgetime torsdag d. 10. januar kl. 8:15-10:00. Dette finder sted i lokale 0.108, FKJ10A i bygning D. Dagen efter, fredag d. 11 januar kl. 8:15-12:00 afholdes en repetitionsforelæsning i 0.06, FKJ12 i bygning B.

Forud for reeksamen afholdes spørgetime fredag d. 15. februar kl. 13:00–15:00 (Bemærk det ændrede tidspunkt). Dette finder sted i lokale 3.152 i FKJ10A, bygning D.