Lineær algebra, 2016 forår

Kursusplan

Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Bemærk, at de fire miniprojekter afholdes sideløbende med de 18 ordinære kursusgange. Nummereringen nedenfor, henviser både til nummeret på kursusgangen og på den ordinære kursusgang. Disse er alene for de første kursusganges vedkommende identiske.

Brugsanvisning til opgaverne:

• Opgaverne er struktureret efter indhold.
• Regn først de opgaver, der er markeret med fed, i den rækkefølge, de står. Gå så tilbage og regn deresterende.
• Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få.
• Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7.gang skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til første gang.
• Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver, som typisk omfatter omkring 30$\%$ af de mulige point.

1. kursusgang (1. ordinære kursusgang).

Forelæsning: Introduktion til vektorer og matricer: 1.1, 6.1 p. 361-366, dog læses på s. 364 - 365 kun sætningerne. 1.2 til p.19 nederst.

Pencasts: Matrix-vektorprodukt, Linearkombinationer

Opgaver:

• Afsnit 1.1
  • Addition og multiplikation med en skalar. opg. 1,3,7.
  • Transponering opg. 5,11,9.
  • Kan to givne matricer adderes: 19, 21,
  • Test din forståelse af matricer og vektorer: Sandt/Falsk 37-39, 41,42, 44-56.
• Afsnit 6.1
  • Beregn norm af og afstand mellem vektorer 1, 7.
  • Er to vektorer ortogonale: 9, 15
• Afsnit 1.2
  • Matrixvektorprodukt: 1,3,5, 7 9,11,15. Vink: Pencast.
  • Linearkombinationer: Skriv en vektor som en linearkombination af en mængde af vektorer: 29, 33, 31, 35, 39
  • Test din forståelse af linearkombinationer. 45-51.
• Afsnit 1.1
  • Symmetriske matricer 71, 72, 75.
  • Bestem søjler og rækker i en matrix 29, 31
  • Skævsymmetriske matricer 79, 80, 81

2. kursusgang (2.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Matrixvektorprodukt og lineære ligningssystemer: 1.2 fra p. 19, 1.3

Pencasts: Matrix-vektorprodukt

Opgaver:

• Afsnit 1.2.
  • Opskriv $2\times 2$ rotationsmatricer. 17, 19
  • Test din forståelse af matrix-vektorproduktet. 51-64
• Afsnit 1.3.
  • Opstil koefficientmatricen og den udvidede matrix for et ligningssystem: 1,3,5.
  • Rækkeoperationer: 7,9,11
  • Afgør, om en vektor er løsning til et ligningssystem. 23, 25.
  • Afgør, om et ligningssystem er konsistent udfra den reducerede echelonform. Find i så fald den generelle løsning. 39, 43, 41.
  • Som ovenfor, men skriv desuden den generelle løsning på vektorform. 47, 49.
  • Test din forståelse af Lineære ligningssystemer og tilhørende matricer. 57-76

3. kursusgang (3.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Gauss-elimination. Span. 1.4 og 1.6

Pencasts: Rækkeoperationer del 1/2 og del 2/2, Reduceret matrix og ligningssystemets løsning

Opgaver:

• Afsnit 1.4:
  • Bestem, om et lineært ligningssystem er konsistent. Find i så fald den generelle løsning. 1,5,9,3,7,11
  • Bestem rang og nullitet for en matrix. 37, 35.
  • Test din forståelse af Gauss-elimination: 53-72.
• Afsnit 1.6.
  • Er $v$ i Span( $S$)?. 1,3,7
  • Er $v$ i Span($S$)? En koordinat i $v$ er ubekendt. 17, 19
  • Er $Ax=b$ konsistent for alle $b$? 31,33.
  • Test din forståelse af span. 45-64.
  • Om sammenhængen mellem Span($S$) og span af linearkombinationer af $S$. 71, 72.
  • Konsekvenser for rækkeoperationer: 77, 78.
• Afsnit 1.4:
  • Ligningssystemer, hvor en koefficient er en ubekendt, $r$. Bestem for hvilke $r$, systemet er inkonsistent. 17, 19,21

4. kursusgang (4.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Lineær uafhængighed: 1.7

Pencasts: Lineær afhængighed: del 1/2 og del 2/2, Lineær uafhængighed

Opgaver:

• Afsnit 1.7.
  • Bestem, om en mængde vektorer er lineært afhængige. 1,5,7,9,11
  • Find en lille delmængde af $S$, med samme span som $S$.13, 15.
  • Bestem om en mængde af vektorer er lineært uafhængig. 23,25,27
  • Test din forståelse af lineær (u)afhængighed 63-82.
  • En mængde af vektorer, hvor en vektor indeholder en ubekendt $r$. Bestem for hvilke $r$, om nogen, mængden er lineært afhængig. 41.
• Regn gamle opgaver fra kursusgang 1-3

5. kursusgang (Miniprojekt 1).

Emne: Lineære ligningssystemer - løsning i MatLab

6. kursusgang (5.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Lineære afbildninger og matrixrepræsentationer. 2.7. 2.8 til s. 185 midt. (Generelt om funktioner.(Injektive, surjektive og bijektive), se Appendix B)

Pencasts: Lineære afbildninger og matricer

Opgaver:

• Afsnit 2.7.
  • $T:X\to Y$ er induceret af en matrix. Find $X$ og $Y$. 1, 3
  • Find billedet af en vektor ved den lineære transformation induceret af en matrix. 7, 11
  • Udfra forskriften for $T$ bestemmes $n$ og $m$, så $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$. 21 23
  • Bestem standardmatricen for en lineær afbildning. 25, 27, 29,31, 33
  • Test din forståelse af lineære afbildninger og matrixrepræsentation. 35-54.
• Afsnit 2.8.
  • Bestem en udspændende mængde for billedmængden. 1,3
  • Afgør om følgende funktioner er surjektive (onto), injektive (one-to-one), bijektive.
    • $f:ℝ\to ℝ$, $f\left(x\right)=x^2+1$
    • $g:ℝ\to ℝ$, $g\left(x\right)=x^3+1$
    • $h:\text{Mængden af danske statsborgere}\to ℝ$ $h\left(x\right)$ er CPR-nummeret for $x$.
    • 61, 65.
  • Afgør ved at finde en udspændende mængde for nulrummet, hvorvidt en afbildning er injektiv. 13, 15, 17
  • Afgør ved at finde standardmatricen, hvorvidt en given lineær afbildning er injektiv. 25, 29, surjektiv. 33, 35.
  • Test din forståelse af afsnit 2.8 (til side 185). 41-55.
• Afsnit 2.7.
  • Hvis $T$ er lineær og vi kender $T\left(v\right)$, hvad er så $T\left(cv\right)$. 57
  • Afgør, om $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ er lineær. 77, 73, 79

7. kursusgang (6.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Multiplikation af matricer, sammensætning af lineære afbildninger. 2.1 og 2.8 p.185 midt, til 187

Pencasts: Produkt af matricer del 1/2 og del 2/2

Opgaver:

• Afsnit 2.1.
  • Bestem, om produktet af to matricer er defineret og find størrelsen, $m\times n$, af produktet. 1,3
  • Udregn matrixprodukter. 5, 9, 11, 7.
  • Udregn en bestemt indgang i produktmatricen. 25
  • Test din forståelse af produkt af matricer. 33-50.
• Afsnit 2.8.
  • Bestem en forskrift for den sammensatte afbildning $U\circ T$ udfra $U$ og $T$. 69.
  • Bestem standardmatricerne for $T$, $U$ og $U\circ T$. 70, 71,72.
  • Test din forståelse af afsnit 2.8 - om sammensatte afbildninger og deres matricer. 56-58.
• MatLab: Afsnit 2.1 opg. 53

8. kursusgang (7.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Inverterbare matricer og invertible lineære transformationer.2.3, 2.4 og 2.8 p.187-188

Pencasts: Regulære matricer, Elementære matricer og rækkeoperationer, Inverse matricer ved Gausselimination

Opgaver:

• Afsnit 2.3.
  • Bestem, om $B=A^{-1}$. 1,3
  • Givet $A^{-1}$ og $B^{-1}$. Udregn den inverse af kombinationer af $A$ og $B$. 9, 11.
  • Find den inverse for elementære matricer. 17, 19.
  • Givet $A$, $B$, find elementære matricer, så $EA=B$. 25, 29.
• Afsnit 2.4. Givet en matrix. Er den invertibel? Find i så fald den inverse. 1, 3, 5, 9, 13
• Afsnit 2.8 Sammenhængen mellem invertible matricer og invertible lineære afbildninger. 59,60.
• Afsnit 2.4.
  • Rækkereduktionsalgoritmen til beregning af $A^{-1}B$. 19
  • Test din forståelse 35-54.
  • Løs et lineært ligningssystem ved invertering af koefficientmatricen. 57.
  • Rækkereduktion til at bestemme reduceret echelonform $R$ af $A$ og samtidig $P$, så $PR=A$. 27.
• Afsnit 2.3
  • Søjlekorrespondenceprincippet. 67.
  • Skriv en søjle som linearkombination af pivotsøjlerne. 75.
• MatLab. Afsnit 2.8. Bestem standardmatricen for en lineær afbildning. Beregn den inverse matrix (MatLab). Find en forskrift (“rule”) for den inverse afbildning. 100

9. kursusgang (8.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Determinanter. 3.1 og 3.2 til p. 217 l.9.

Pencasts: Determinanter. 2x2 og 3x3, Determinanter og rækkeoperationer, Søjlerum og rækkerum, Nulrum for en matrix

Opgaver:

• Afsnit 3.1
  • Determinant af en $2\times 2$ matrix. 1, 3, 7. Beregn også den inverse ved at bruge formlen side 200.
  • Determinant af en $3\times 3$ matrix ved kofaktormetoden. 13, 15
  • Beregn determinanter - frit valg af metode. 21, 23.
  • Determinant af $2\times 2$ matrix og areal. 29
  • Determinant og invertibilitet. 37.
  • Test din forståelse af determinanter og kofaktorer. 45-64
• Afsnit 3.2
  • Beregn determinanter- udvikling efter en given søjle, 1, 5
  • Beregn determinanter ved brug af rækkeoperationer. 13, 15, 21, 23
  • Test din forståelse af determinanters egenskaber. 39-58.
• Afsnit 3.1 Vis formlen $det\left(AB\right)=det\left(A\right)det\left(B\right)$ for $2\times 2$ matricer. 71
• Afsnit 3.2 Vis formlen $det\left(B^{-1}AB\right)=det\left(A\right)$ for $n\times n$ matricer $A$ og $B$, hvor $B$ er invertibel. 71

10. kursusgang (Miniprojekt 2).

Emne: (0-1) matricer og Kirchoffs love

11. kursusgang (9.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Underrum, basis for underrum. 4.1 og 4.2 til p.245, mid.

Pencasts: Basis for et underrum

Opgaver:

• Afsnit 4.1
  • Find en udspændende mængde for et underrum. 1, 5, 9.
  • Er en vektor i nulrummet for en given matrix. 11, 15
  • Er en given vektor i søjlerummet for en given matrix. 19,21
  • Find en udspændende mængde for nulrummet af en matrix. 27, 29
  • Test din forståelse af underrum, nulrum, søjlerum. 43-62.
  • Vis, at en mængde ikke er et underrum. 81
  • Vis, at en mængde er et underrum. 89
  • Nulrum for en lineær afbildning er et underrum. 96.
• Afsnit 4.2.
  • Find en basis for nulrum og søjlerum for en matrix. 1, 3, 5.
  • Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation 9,
• Afsnit 4.1 Find en udspændende mængde for søjlerummet for en matrix. Med et foreskrevet antal elementer. 67, 69 .

12. kursusgang (10.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Dimension, Rang og nullitet. Resten af 4.2, 4.3

Pencasts: Basis og dimension af nulrum, søjlerum, rækkerum

Opgaver:

• Afsnit 4.2
  • Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation. 9, 11, 13 15
  • Find en basis for et underrum 17, 19, 23
  • Test din forståelse af Basis og dimension. 33-52.
• Afsnit 4.3.
  • Bestem dimension af søjlerum, nulrum og rækkerum for en matrix $A$ samt nulrum for $A^T$.
    • Når $A$ er på reduceret echelonform. 1, 3.
    • Generelt. 7.
  • Bestem dimensionen af et underrum. 15
  • Find en basis for rækkerum. 17, 19.
  • Test din forståelse af dimension af underrum hørende til matricer. 41-60.
  • Vis, at en given mængde er en basis for et givet underrum. 61, 63.
• Afsnit 4.2
  • Forklar, hvorfor en given mængde ikke udspænder. (Vink: opg. 44), 55
  • Forklar, hvorfor en given mængde ikke er lineært uafhængig.(Vink: Opg.46) 57.

13.kursusgang (11.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Koordinatsystemer. 4.4

Opgaver:

• Afsnit 4.4.
  • Find $v$ udfra ${\left[v\right]}_{\mathcal{ℬ}}$ og $\mathcal{ℬ}$. 1, 7
  • Når $v$ er givet som en linearkombination af elementer i en basis $\mathcal{ℬ}$, hvad er så ${\left[v\right]}_{\mathcal{ℬ}}$? 13
  • Find ${\left[v\right]}_{\mathcal{ℬ}}$ udfra $\mathcal{ℬ}$ og $v$. 15, 17, 19
  • Skriv en vektor som en linearkombination af en mængde vektorer. 25, 27
  • Test din forståelse af koordinatsystemer. 31-50
  • Hvad er sammenhængen mellem matricen $\left[{\left[e_1\right]}_{\mathcal{ℬ}}{\left[e_2\right]}_{\mathcal{ℬ}}\right]$ og matricen, hvis søjler er vektorerne i $\mathcal{ℬ}$. 51, 53
  • En basis $\mathcal{ℬ}$ for planen er givet ved rotation af standardbasen. Hvad er sammenhængen mellem $v$ og ${\left[v\right]}_{\mathcal{ℬ}}$. 55, 67, 75
  • Ligning for keglesnit før og efter basisskift. 79
  • Hvad betyder det, at der findes en vektor $v$, så ${\left[v\right]}_A={\left[v\right]}_B$? 99.

14. kursusgang (12.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Lineære transformationer og koordinatsystemer. 4.5

Opgaver:

• Afsnit 4.5
  • Bestem matricen for $T$ mht. $\mathcal{ℬ}$. 1,3,7
  • Bestem standardmatricen for $T$ udfra ${\left[T\right]}_{\mathcal{ℬ}}$ og $\mathcal{ℬ}$. 11, 15
  • Test din forståelse af matrixrepræsentationer af lineære operatorer 20-23, 25-38
  • Bestem ${\left[T\right]}_{\mathcal{ℬ}}$, standardmatricen for $T$ og en forskrift for $T$ udfra $T\left(b_i\right)$ for alle $b\in \mathcal{ℬ}$. 47, 49, 51
  • Find ${\left[T\right]}_{\mathcal{ℬ}}$ udfra $T\left(b_i\right)$ som linearkombination af $\mathcal{ℬ}$. Find så $T\left(w\right)$, hvor $w$ er en linearkombination af $\mathcal{ℬ}$. 39, 55 43,59

15. kursusgang (13.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Egenvektorer og og egenværdier. 5.1 og 5.2 til p. 307

Opgaver:

• Afsnit 5.1
  • Vis, en vektor er en egenvektor. 3, 7
  • Vis, en skalar er en egenværdi. 13, 21
  • Test din forståelse af egenværdier og egenvektorer. 41-56, 57-60
• Afsnit 5.2
  • Find egenværdier og en basis for de tilhørende egenrum
    • For en matrix - givet dens karakteristiske polynomium 1, 3,11
    • For en matrix. 15, 19
    • For lineær operator -givet dens karakteristiske polynomium. 31
    • For en lineær operator. 37
  • Har en $2\times 2$ matrix nogen (reelle) egenværdier? 41
  • Test din forståelse af det karakteristiske polynomium, multipliciteter af egenværdier. 53-59, 61,63-65, 69-72.
  • Sammenhængen mellem egenrum for $B$ og $cB$ 81.
  • Sammenhæng mellem egenværdier (og egenvektorer?) for $B$ og $B^T$ 83.

16. kursusgang (14.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Diagonalisering. 5.3

Opgaver:

• Afsnit 5.3
  • Givet en matrix $A$ og dens karakteristiske polynomium. Find $P$ og en diagonalmatrix $D$, så $A=PD{P}^{-1}$ eller forklar, hvorfor $A$ ikke er diagonaliserbar. 1, 3, 5,7,9
  • Som ovenfor, men det karakteristiske polynomium er ikke givet. 13, 15 17
  • Test din forståelse af diagonalisering af matricer. 29-37, 39-43, 45,46
  • Udfra egenværdier og deres multiplicitet afgøre, om $A$ er diagonaliserbar. 49, 51
  • Udfra egenværdier og en basis for egenrummene udregnes $A^k$. 57, 59
  • En matrix og dens karakteristiske polynomium er givet. Der indgår en ubekendt. For hvilke værdier er matricen ikke diagonaliserbar. 63

17. kursusgang (Miniprojekt 3).

Emne: Systemer af differentialligninger, afsnit 5.5

18. kursusgang (15.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Ortogonalitet, Gram Schmidt, QR-faktorisering. 6.2

Pencasts: Gram Schmidt

Opgaver:

• Afsnit 5.5 - Disse opgaver bygger på miniprojekt 3
  • Find den generelle løsning til et system af differentialligninger. 45
  • Find i opgave 45 den løsning, der opfylder $y_1\left(0\right)=1$ og $y_2\left(0\right)=4$. (Facit: $y_1\left(t\right)=-e^{-3t}+2e^{4t}$. $y_2\left(t\right)=3e^{-3t}+e^{4t}$)
  • Test din viden om systemer af differentialligninger. 8-11
• Afsnit 6.1 (genopfriskning)
  • Test din forståelse af skalarprodukt og ortogonalitet. 61-70, 73-80
• Afsnit 6.2
  • Bestem, hvorvidt en mængde vektorer er ortogonal. 1, 3, 7
  • Brug Gram-Schmidt. 9,11,13, 15
  • $QR$-faktorisering. 25,27,29, 31
  • Løs ligningssystemer ved $QR$-faktorisering. 33, 35, 37,39. OBS: Vis, at de fundne løsninger til $Rx=Q^{T}b$ også løser $Ax=b$.
  • Test din forståelse af Gram-Schmidt og $QR$-faktorisering. 41-52

19. kursusgang (16.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Ortogonale projektioner. 6.3

Pencasts: Projektionsmatricer

Opgaver:

• Afsnit 6.1 (genopfriskning) Projektion på en linje. 43, 45
• Afsnit 6.3
  • Find en basis for det ortogonale komplement. 1, 3, 5
  • Skriv en vektor $u$ som en sum $u=w+z$, hvor $w\in W$ and $z\in W^{\perp }$. 9,11
  • Som ovenfor. Desuden: Find matricen $P_W$ for ortogonal projektion på $W$, find afstand til $W$. 17,19,21 Vink til 21: Pas på, søjlerne i $A$ er ikke lineært uafhængige.
  • Tjek din forståelse af ortogonal projektion og ortogonalt komplement. 33-56.
  • Hvad er det ortogonale komplement til det ortogonale komplement? 63
  • Hvad er ${\left(P_W\right)}^2$ og ${\left(P_W\right)}^T$. 67
  • Find $P_W$ udfra en ortonormal basis for $W$. 75

20. kursusgang (17.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Ortogonale matricer. Ortogonale afbildninger i planen 6.5 til s. 419.

Opgaver:

• Afsnit 6.5
  • Genkend en ortogonal matrix. 1, 4, 5,3
  • Bestem, om en ortogonal $2\times 2$ matrix er en spejling eller en rotation og find spejlingsakse eller rotationsvinkel. 9, 11
  • Ortogonale matricer og egenværdier. 49
  • Flytninger i planen. Bestem $Q$ og $b$, så $F\left(v\right)=Qv+b$ for alle $v$. 61, 63
  • Lad $Q_x$ og $Q_z$ være matricerne for rotation $90^{\circ }$ om hhv. $x$-aksen og $z$-aksen. $$Q_x=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right]Q_z=\left[\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]$$

    Lad $Q=Q_x{Q}_z$ være matricen for den sammensatte afbildning. Det er også en rotation. Find egenrummet hørende til egenværdien $1$ og dermed rotationsaksen.(Facit: Span(${\left[1-11\right]}^T$))

• Del II af Eksamenssættet fra 8.januar 2013

  Bemærk, at der er flere typer multiple choice opgaver.

21. kursusgang (Miniprojekt 4).

Emne: Mindste kvadraters metode, afsnit 6.4

22. kursusgang (18.ordinære kursusgang).

Forelæsning: Stive flytninger. 6.5 p.419-421. Repetition - gennemgå eksempelvis et eksamenssæt i store træk.

Opgaver:

• Afsnit 6.5
  • Bestem forskriften for stive flytninger. 61, 62, 63, 64
• Gamle eksamensopgaver

Miniprojekter

Ved alle miniprojekter skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).

Miniprojekt 1

Opgaven understøttes af screencast 1, 2 og 3, der kan findes i MATLAB-centret.

Linket http://www.mathworks.com/help/techdoc/math/f4-983672.html i PDF-filen er nu ugyldigt. Se venligst http://mathworks.com/help/matlab/math/systems-of-linear-equations.html i stedet.

Litteratur: Appendix D

Miniprojekt 2

Opgaven understøttes af screencast 4 og 5, der kan findes i MATLAB-centret.

Litteratur: Appendix D

Miniprojekt 3

Tryk her for at downloade Matlab-kode, der henvises til i opgaven. Bemærk, at det er en zip-fil (bestående af 5 m-filer, der er blevet komprimeret). Filen skal altså pakkes ud efter download.

Opgaven understøttes af screencast 6, der kan findes i MATLAB-centret.

Litteratur: Appendix D

Miniprojekt 4

I forbindelse med miniprojektet, skal følgende MATLAB-filer anvendes:

• polynomial_data.txt
• linreg.m
• linreg2.m
• example.m

Opgaven understøttes af screencast 7, der kan findes i MATLAB-centret.

Litteratur: Appendix D

Pencasts

SIF kapitel 1

• Rækkeoperationer: del 1/2 og del 2/2
• Linearkombinationer
• Matrix-vektorprodukt
• Reduceret matrix og ligningssystemets løsning
• Spænd, span
• Lineær afhængighed: del 1/2 og del 2/2
• Lineær uafhængighed

SIF Kapitel 2

• Produkt af matricer: del 1/2 og del 2/2
• Regulære matricer
• Elementære matricer og rækkeoperationer
• Inverse matricer ved Gausselimination
• Lineære afbildninger og matricer

SIF Kapitel 3

• Determinanter. 2x2 og 3x3
• Determinanter og rækkeoperationer
• Søjlerum og rækkerum
• Nulrum for en matrix

SIF Kapitel 4

• Basis for et underrum
• Basis og dimension af nulrum, søjlerum, rækkerum

SIF Kapitel 5

Ingen pencasts

SIF Kapitel 6

• Gram Schmidt
• Projektionsmatricer

Supplerende materiale

Noter

• Note om QR-faktorisering

E-learning

• Khan Academy
• Coursera

Overblikslides

• Matrix introduktion
• Lineære ligningssystemer
• Span og lineær (u)afhængighed
• Matrixprodukt og inverterbare matricer
• Mere om inverterbare matricer
• Lineære transformationer
• Mere om lineære transformationer
• Determinant
• Underrum af Rⁿ
• Dimension og rang
• Repræsentation af lin. operatorer
• Egenværdier og egenvektorer
• Diagonalisering
• Ortogonalitet og Gram-Schmidt
• Ortogonal projektion
• Ortogonale matricer
• Symmetriske matricer

 

Genopfriskningsopgaver

Klik her for at downloade opgaverne.

Klik her for at downloade facitlisten.

Ordliste

Klik her for at downloade ordlisten.

Gamle eksamensopgaver

Bemærk: ny struktur i prøvens opbygning. Relevant fra og med foråret 2016.

• 2016 forår
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen (facit)
• Testsæt
• Testsæt 2016-01 (facit)

Tidligere eksamensopgaver

• Testsæt (2015E)
• Testsæt 2015-01 (facit)
• Testsæt
• Testsæt 1 (facit)
• Testsæt 2
• 2010
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen (facit)
• 2011
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen (facit)
• 2012
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen (facit)
• 2013
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen (facit)
• 2014
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen inkl. facit
• 2015 efterår
• Ordinær eksamen (facit)
• Re-eksamen (facit)

Pensum

Litteratur:

• [Geil] Olav Geil, "Elementary Linear Algebra". Pearson, 2015. ISBN: 978-1-78448-372-2:

Pensum ([Geil]):

• Matrices Vectors and Systems of Linear Equations: Afsnit 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7
• Matrices and Linear Transformations: Afsnit 2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.8
• Determinants: Afsnit 3.1, 3.2 til side 217 l.9
• Subspaces and their Properties: Afsnit 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
• Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalization: Afsnit 5.1, 5.2 til side 307 nederst, 5.3
• Orthogonality: Afsnit 6.1 til side 366, 6.2, 6.3, 6.5.
• Appendix D
• Miniprojekter 1-4

Matematik-cafe

Har du svært ved lineær algebra og/eller calculus på første studieår og er du opsat på at gøre noget ved det?

Så er den nye Matematik-cafe lige noget for dig. Det kører med jævne mellemrum på alle tre campuser (tid og sted fremgår nedenfor). Det er et ekstra tilbud om matematikhjælp et par timer, hvor en hjælpelærer er klar til at forklare hvordan du kommer videre i den opgave du gik i stå med til sidste opgaveregning. Hjælpelærernes fokus vil være på stoffet der er gennemgået de sidste par kursusgange, og de kan ikke nødvendigvis hjælpe med alt mellem himmel og jord, men spørg endelig løs for de er der for at hjælpe. Dette er et nyt initiativ og successen måles til dels på hvor mange der kommer. Hvis interessen viser sig at være stor, oprettes der flere end de allerede planlagte sessioner.

Bemærk: Dette er et ekstra tilbud om matematik-hjælp ud over den almindelige studietid, så det er absolut ikke en gyldig undskyldning for ikke at deltage i andre kursusaktiviteter og projektarbejdet.

Aalborg

Alternerer mellem fredag kl. 14:15-16:15 og onsdag kl. 16:15-18:15. De fastlagte datoer indtil videre er (opdateres løbende):

• Fredag 5/2-16 kl. 14:15-16:15 i lokale A414 og A416.
• Onsdag 10/2-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A413.
• Fredag 19/2-16 kl. 14:15-16:15 i lokale A416 og A413.
• Onsdag 24/2-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A414 og A416.
• Fredag 4/3-16 kl. 14:15-16:15 i lokale A416.
• Onsdag 9/3-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A416.
• Fredag 18/3-16 kl. 14:15-16:15 i lokale A416.
• Onsdag 6/4-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A413.
• Onsdag 20/4-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A416.
• Onsdag 4/5-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A416.
• Onsdag 18/5-16 kl. 16:15-18:15 i lokale A416.

Esbjerg

Kører ca. hver anden uge. I første omgang torsdag eftermiddag. De fastlagte datoer indtil videre er (opdateres løbende):

• Torsdag 11/2-16 kl. 12:30-14:30 i lokale A134.
• Torsdag 3/3-16 kl. 12:30-14:30 i lokale A134.
• Torsdag 17/3-16 kl. 12:30-14:30 i lokale A134.
• Torsdag 14/4-16 kl. 12:30-14:30 i lokale A134.
• Torsdag 19/5-16 kl. 12:30-14:30 i lokale A134.

København

Kører ca. hver anden fredag eftermiddag. De fastlagte datoer indtil videre er (opdateres løbende):

• Fredag 19/2-16 kl. 14:00-16:00 i lokale 0.108, Fkj. 10A.
• Fredag 4/3-16 kl. 14:00-16:00 i lokale 0.108, Fkj. 10A.
• Fredag 18/3-16 kl. 14:00-16:00 i lokale 0.108, Fkj. 10A.
• Fredag 15/4-16 kl. 14:00-16:00 i lokale 0.108, Fkj. 10A.
• Fredag 13/5-16 kl. 14:00-16:00 i lokale 0.108, Fkj. 10A.