Computeralgebra

Maple

Se mere om Maple her.

• Polære koordinater
• Tangent og krumningscirkel
• Fra krumning til kurve
• Kontur- og niveaukurver
• Partielle afledede og tangentplanen
• Den retningsafledede
• Rumintegraler
• Masse, massemidtpunkt og inertimoment
• Harmonisk oscillator
• Illustration af Riemann-summer

Matlab

Se mere om MATLAB her.

• Polære koordinater (areal) - en alternativ tilgang til polære plots
• Kontur- og niveaukurver
• Partielle afledede og tangentplanen
• Den retningsafledede
• Rumintegraler
• Masse, massemidtpunkt og inertimoment
• Harmonisk oscillator
• Taylor-polynomier

Supplerende materiale

Opgaver

• Opgaver om komplekse polynomier (facit)
• Supplerende facitliste, E&P
• Liste over integraler

E-learning

• Khan Academy
• Coursera
• Rob Ghrists Calculus Blue

Supplerende noter om udvalgte emner

• Trigonometriske formler
• Om formler for cirkulære funktioner
• Tangenter til polære kurver
• Differentiabilitet
• Partielle afledede og retningsafledede
• Kædereglen for vektorfunktioner
• Ekstremumsbestemmelse
• Eksempel på volumenbestemmelse
• Variabelskift i plan- og rumintegraler

Eksempler på anvendelser af calculus

• Calculus Field Trips Log hvor man finder hvor man finder "Calculus in REal-World Biopharmaceutical Development"
• San Francisco bugtens saltkoncentraion (differentialligninger)
• Calculus in Water Engineering
• Antenners (og mikrofoners) karakteristik beskrives ved polære koordinater:
  • http://www.radartutorial.eu/06.antennas/an05.en.html
  • http://www.wildpackets.com/elements/whitepapers/math_physics_jbardwell.pdf (p. 37-45)
• Differentialligninger: IDEA. Internet Differential Equation Activities
  • Oscillerende kemiske reaktioner
  • Reaktionskinetik
  • Modellering af neuroner
  • Spredning af giftstoffer i jord
  • Rangeland Ecosystems
  • Intravenous drug administration
  • Og mange flere...

Genopfriskningsopgaver

Forslag til hjemmeopgaver for at repetere pensum

• Partielle afledede

Forslag til hjemmeopgaver for at repetere gymnasiepensum

1: Trigonometriske funktioner og deres inverse

1. Illustrer på en enhedscirkel, hvor man aflæser sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
2. Tegn en retvinklet trekant. Navngiv siderne og vinklerne. Giv for en af vinklerne (ikke den rette vinkel) formler for cosinus, sinus og tangens.
3. E&P Appendix C. p. A18. Opgaverne 15, 16, 18, 19, 21.

2: Polære koordinater

• Hvad er $(x,y)$ koordinaterne for et punkt på enhedscirklen med vinkel $\frac{\pi}{4}$ (eller $45^\circ$). Klik her for at få svaret (Svar: $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.)
• Hvad er $(x,y)$ koordinaterne for et punkt på en cirkel med radius 3 med vinkel $\frac{\pi}{4}$. Klik her for at få svaret (Svar: $(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$.)
• Find centrum og radius for en cirkel med ligning $x^2+y^2-4x+2y-4=0$
• Et punkt på grafen for en funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ har koordinater $(2,7)$. Hvad er $f(2)$? Kan man sige noget om $f(7)$ udfra denne oplysning? 

3: Kurver og bevægelse i rummet

• Giv to forskellige parameterfremstilling for linjen i rummet gennem punkterne $[2,3,0]$ og $[1,1,1]$.
• Udregn $D_x(f+g)(0)=(f+g)'(0)$, hvor $f(x)=e^x$ og $g(x)=-3x$.
• Udregn $\int_2^4xdx$ og $\int_0^2xdx$. Brug disse resultater til at udregne $\int_0^4x dx$.

4: Buelængde og krumning

• Udregn $h'(s)$, når $f(x)=x^2$, $g(s)=s+1$ og $h(s)=f\circ g(s)=f(g(s))$.
• Når $F(x)$ er en stamfunktion for $f(x)$, hvad er så $F'(x)$?
• Udregn $\int_0^tx^3dx$. Klik her for at få svaret (Svar: $\frac{1}{4}t^4$.)
• Udregn tværvektoren til $\mathbf{v}=[3,1]$
• Reducér udtrykket $(4cos(t)+3sin(t))^2+(3cos(t)-4sin(t))^2$

6: Introduktion til funktioner af flere variable

Denne gang indeholder også repetition fra lineær algebrakurset. En reel funktion/afbildning har en definitionsmængde (engelsk: domain), vi skriver $f:D\to \mathbf{R}$. I opgaverne her er $D$ en delmængde af $\mathbf{R}$:

• Hvad er den størst mulige definitionsmængde for en funktion med funktionsudtryk $f(x)=\frac{1}{x}$? Klik her for at få svaret Svar: Alle reelle tal bortset fra $0$. Det kan skrives $]-\infty,0[\cup ]0,\infty[$ eller $\mathbf{R}\setminus \{0\}$ eller $\{x\in\mathbf{R}| x\neq 0\}$
• Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $g(x)=\ln(x)$? Klik her for at få svaret Svar: Alle positive reelle tal. Skrives $]0,\infty[$ eller $\mathbf{R}_+$ eller $\{x\in\mathbf{R}| x>0\}$.
• Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $f(x)=\sqrt{x}$? Klik her for at få svaret Svar: Alle positive reelle tal inklusive $0$. Skrives $[0,\infty[$ eller $\{x\in\mathbf{R}| x\geq 0\}$.
• Hvad er den størst mulige definitionsmængde for $f(x)=\sqrt{x-1}$? Klik her for at få svaret Svar: $[1,\infty[$ eller $\{x\in\mathbf{R}|x\geq 1\}$.

7: Partielle afledede

Denne gang drejer det sig om tretrinsreglen for en funktion $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$. Tretrinsreglen er en blanding af en definition af den afledte $f'(x_0)$ og en opskrift på at finde $f'(x_0)$:

1. Find funktionstilvæksten $\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)$
2. Opskriv differenskvotienten $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
3. Find (om muligt) grænseværdien $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$. Hvis denne grænseværdi eksisterer, så er det $f'(x_0)$

Opgave:

Funktionen $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ har funktionsudtryk(funktionsforskrift) $f(x)=4x^2$. Udregn $f'(2)$ ved at bruge tretrinsreglen. Tegn en graf for $f$ og indtegn $x_0$, $f(x_0)$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$ og sekantlinjer for $x_0=2$ og $h=2$, for $h=1$ og for $h=-1$. Udregn differenskvotienten for de tre værdier af $h$.

Vink: Her er en sekantlinje (for en anden funktion): http://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-calculus.svg

8: Optimering

1. Find minimum for funktionen $f(x)=x^4-8x^2+3$
   Vink: Find først $f'(x)$ og dens nulpunkter. Minimum antages i et af disse punkter (Hvorfor?)
   Klik her for at få svaret Svar: $f'(x)=4x^3-16x$, nulpunkter for $f'(x)$ er $x=0$, $x=2$ og $x=-2$. $f(0)=3$, $f(-2)=f(2)=-13$, Minimum er altså $-13$.
2. Find de punkter, hvor funktionen $f(x)=x^3-3x+7$ har vandret tangent. Klik her for at få svaret Svar: $x=1$ og $x=-1$.
3. Find maksimum og minimum for funktionen $f(x)=x^3-3x+7$ når $-2\leq x\leq 2$. Klik her for at få svaret Svar: Maksimum er $f(-1)=9$, minimum er $f(-2)=f(1)=5$.

9: Kædereglen

1. Funktionen $h(x)=f\circ g(x)$ og $g(x)=x^2$, $f(y)=\sin(y)$. Hvad er $h'(3)$? Klik her for at få svaret Svar: $h'(3)=\cos(9)\cdot 6$
2. Funktionen $h(x)=e^{3x^2+3}$. $h(x)=f\circ g(x)$. Hvad kan $f$ og $g$ være? (Flere svar kan være rigtige...)
   1) $g(x)=x^2$, $f(y)=e^{3y+3}$
   2) $g(x)=e^x$, $f(y)=3y^2+3$
   3) $g(x)=3x^2+3$, $f(x)=e^y$
   4) $g(x)=x^2+1$, $f(y)=e^{3y}$
   Klik her for at få svaret Svar: 1, 3 og 4
3. Om funktionen $h(x)=f\circ g(x)$ oplyses, at $g'(2)=-1$, $g(2)=5$, $f'(5)=3$. Hvad er $h'(2)$? Klik her for at få svaret Svar: $h'(2)=-3$

10: Gradientvektor og de retningsafledede

1. Lad $\mathbf{u}=<\cos(\theta),\sin(\theta)>$ og $\mathbf{v}=<v_1,v_2>$. Udregn $g(\theta)=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$. Klik her for at få svaret Svar: $g(\theta)=v_1\cos(\theta)+v_2\sin(\theta)$
2. Udregn projektionen af vektoren $\mathbf{v}=<-1,3>$ på $\mathbf{w}= <3,3>$ og indtegn de tre vektorer i et koordinatsystem. Klik her for at få projektionen Projektionen er $<1,1>$
3. Udregn de partielle afledede af $f(x,y)=5x^3y^4 -2xy+6y+34$. Klik her for at få svaret Svar: $f_x=15x^2y^4-2y$, $f_y=20x^3y^3-2y+6$

12: Integration af funktioner af to variable

1. Udregn integralet $\int_2^32x dx$. Klik her for at få svaret Svar: $5$
2. Udregn det ubestemte integrale $\int x^3 dx$. Klik her for at få svaret Svar: $\frac{1}{4}x^4$
3. Hvad er stamfunktionerne til
   • $f(x)=x^k$, $k\neq -1$. Klik her for at få svaret Svar: $\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C$
   • $f(x)=e^{ax}$. Klik her for at få svaret Svar: $\frac{1}{a}e^{ax}$
   • $f(x)=\frac{1}{x}$. Klik her for at få svaret Svar: $ln(|x|)+C$

13: Mere om integration af funktioner af to variable

1. Tegn linjestykket $y=2-x$ og $-1\leq x\leq 1$. Klik her for at få svaret Svar: Linjestykkets endepunkter er $(-1,3)$ og $(1,1)$
2. Tegn linjestykket $x=y+3$ og $0\leq y\leq 2$. Klik her for at få svaret Svar: Linjestykkets endepunkter er $(3,0)$ og $(2,5)$.
3. Tegn den figur i planen, som er givet ved $0\leq x \leq 1$ og $0\leq y\leq x$. Klik her for at få et vink. Vink: Linjestykket $y=x$ og $0\leq x\leq 1$ er en af siderne. Klik her for at få svaret Svar: Figuren er en trekant med hjørner $(0,0)$, $(1,0)$ og $(1,1)$.
4. En trekant i planen har hjørnepunkter $P(1,0)$, $Q(2,1)$ og $R(2,4)$. Tegn trekanten og opskriv ligning for de linjer, der udgør dens kanter. Klik her for at få svaret Svar: Linjestykkernes ligning og afgrænsning: $PQ$: $y=-1+x$ $1\leq x\leq 2$; $QR$: $x=2$ $1\leq y\leq 4$; $PR$: $y=4x-4$, $1\leq x\leq 2$.

14: Planintegralet i polære koordinater

1. Hvad er arealet af en cirkel med radius $r$? Klik her for at få svaret Svar: $\pi r^2$.
2. Hvad er arealet af den "ring", der ligger mellem cirklen med radius $5$ og cirklen med radius $3$, begge med centrum i Origo? Klik her for at få svaret Svar: $\pi(5^2-3^2)=16\pi$.
3. Hvad er arealet af den del af enhedscirklen, som ligger mellem vinklerne $\vartheta=0$ og $\vartheta=\frac{\pi}{4}$? Klik her for at få svaret Svar: $\frac{1}{8}\pi$.
4. Hvad er arealet af den del af "ringen" fra opg. 2, som ligger mellem $\vartheta=0$ og $\vartheta=\frac{\pi}{4}$? Klik her for at få svaret Svar: $\frac{1}{8}\cdot 16\pi=2\pi$.

15: Tripelintegraler

1. Hvad er volumen af en kasse med højde $h$, bredde $b$ og længde $l$? Klik her for at få svaret Svar: $lbh$.
2. Hvad vejer en kasse med volumen $5 m^3$ og massefylde $500 kg/m^3$ Klik her for at få svaret Svar: $2500 kg$.
3. Hvad er volumen af en cylinder med højde $7$ og radius $5$? Klik her for at få svaret Svar: $\pi r^2 h=\pi 5^2 7=175\pi$.

17: Komplekse tal

1. Udregn $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$ eksakt. Klik her for at få svaret Svar: $-1$.
2. Udregn $(3+2\sqrt{5})+4-3\sqrt{5})$ eksakt. Klik her for at få svaret Svar: $7-\sqrt{5}$.
3. Udregn $(2+2\sqrt{3})(3+4\sqrt{3})$ eksakt. Klik her for at få svaret Svar: $30+14\sqrt{3}$.
4. Ikke gymnasiestof, men fra tidligere i kurset:
   1. Et punkt i planen har polære koordinater $r=\sqrt{2}$ og $\rho=\frac{\pi}{4}$. Hvad er de kartesiske koordinater? Klik her for at få svaret Svar: $(1,1)$.
   2. Hvad er de polære koordinater til punktet $(3,4)$, hvis vi forlange $r\geq 0$ og $0\leq\rho < 2\pi$? Klik her for at få svaret Svar: $r=5$, $\rho=tan^{-1}{\frac{4}{3}}$.

18: Den komplekse eksponentialfunktion

1. Hvad er $e^{a+b}$? Klik her for at få svaret Svar: $e^ae^b$.
2. Hvad er (den maksimale) definitionsmængde for den reelle funktion $f(x)=e^x$? Hvad er billedmængden? Klik her for at få svaret Svar: Definitionsmængde: $\mathbf{R}$. Billedmængde: $\{x\in \mathbf{R} \mid x>0\}$.
3. Hvad er $\frac{d}{dx}e^x$ og $\frac{d}{dx}e^{kx}$? Klik her for at få svaret Svar: $e^x$ og $ke^{kx}$.
4. Hvad er de anden afledte $\frac{d^2}{(dx)^2}\cos(x)$ og $\frac{d^2}{(dx)^2}\sin(x)$? Klik her for at få svaret Svar: $-\cos(x)$ og $-\sin(x)$.
5. Løs differentialligningen $f'(x)=f(x)$. (Den kan også skrives $\frac{dy}{dx}=y$ - sådan har I måske set den i gymnasiet.) Klik her for at få svaret Svar: $f(x)=ke^x$, hvor $k$ er en konstant.

19: Første ordens differentialligninger

1. Bestem en stamfunktion til $f(t)=2t+t^2+3t^3$. Klik her for at få svaret Svar: $t^2+\frac{1}{3}t^3+\frac{3}{4}t^4+C$, hvor $C$ er en konstant.
2. Bestem det uengentlige integrale $\int t\cos(t^2)\,dt$. Klik her for at få et vink Vink: Benyt substitutionen $u=t^2$.
3. Find den løsning til differentialligningen $y'(t)=2t+t^2+3t^3$, der opfylder $y(0)=1$. Klik her for at få et vink. Vink: fra 19.1 har vi $y(t)=t^2+\frac{1}{3}t^3+\frac{3}{4}t^4+C$, og vi løser nu $1=y(0)$ for at bestemme $C$.
4. Bestem løsningen til differentialligningen $y'(t)=t^2e^{t^3}$. Klik her for at få svaret Svar: $y(t)=\frac{1}{3}e^{t^3}+C$, hvor $C$ er en konstant.

20: Anden ordens lineære differentialligninger

1. Vis, at $e^{3t}$ er en løsning til $y'(t)=3y(t)$.
2. Vis, at $ke^{3t}$ er en løsning til $y'(t)=3y(t)$ for ethvert $k\in\mathbb{R}$.
3. Vis, at funktionen $y(t)=5e^{t}$ er en løsning til ligningen $y''+5y'-6y=0$. Klik her for at få et vink Vink: $y''(t)=y'(t)=y(t)$.
4. Vis, at funktionen $y(t)=e^{6t}$ er en løsning til ligningen $y''+5y'-6y=0$. Klik her for at få et vink Vink: Find $y''(t)$ og $y'(t)$ og indsæt i ligningen.

21: Inhomogene 2. ordens ligninger. Superpositionsprincippet.

1. Hvad er $(f+g)'(t)$? Klik her for at få svaret Svar: $f'(t)+g'(t)$.
2. Hvad er $(af+bg)'(t)$? Klik her for at få svaret Svar: $af'(t)+bg'(t)$.
3. Om to funktioner $y_1(t)$ og $y_2(t)$ oplyses, at $y_1'(t)=t^3$ og $y_2'(t)=\frac{1}{cos(t)}$. Find de afledte af funktionerne (OBS: Uden først at finde $y_1(t)$ og $y_2(t)$)
1. $f(t)=3y_1(t)$. Klik her for at få svaret Svar: $f'(t)=3t^3$.
2. $g(t)=y_1(t)+y_2(t)$. Klik her for at få svaret Svar: $g'(t)=t^3+\frac{1}{cos(t)}$.
3. $h(t)=2y_1(t)+7y_2(t)$. Klik her for at få svaret Svar: $h'(t)=2t^3+\frac{7}{\cos(t)}$.

Matematik-cafe

Har du svært ved lineær algebra og/eller calculus på første studieår og er du opsat på at gøre noget ved det?

Så er Matematik-cafe lige noget for dig. Det kører online i Microsoft Teams på udvalgte datoer for alle tre campusser. Listen over datoer og tidspunkter findes nedenfor. Man skal tilmelde sig teamet med koden fx86w0k.

Det er et ekstra tilbud om matematikhjælp et par timer, hvor en hjælpelærer er klar til at forklare, hvordan du kommer videre i den opgave, du gik i stå med til sidste opgaveregning.

Skriv altid mindst 24 timer før caféen starter, at du har brug for hjælp, og hvilke specifikke opgaver, du har brug for hjælp til. Det er vigtigt, at man udfører dette trin. Dette skyldes, at der findes forskellige opgaver for forskellige studieretninger, så man kan ikke forvente at få hjælp, hvis ikke hjælpelærerne har haft mulighed for at forberede sig.

Vær forberedt på, hvad du vil spørge hjælpelærerne om, og hvordan du vil stille dit spørgsmål over Teams (om du f.eks. vil skrive noget på papir, uploade et billede eller andet).

Brug kanalen for den relevante dato – det er denne kanal, hjælpelærerne holder øje med.

Datoer

De mulige datoer er (opdateres løbende):

• Torsdag 15/2 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 22/2 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 29/2 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 7/3 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 14/3 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 21/3 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 4/4 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 11/4 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 18/4 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 25/4 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 2/5 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 16/5 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.
• Torsdag 23/5 kl. 16:15–17:15 på MS Teams.

Information til omgængere

Forelæsningerne streames og gemmes på video. Se i Moodle efter links til dette for de enkelte kursusgange. Links til Moodle-sider for de forskellige blokke findes herunder.

Opgaveregning kan man deltage i, men man skal sidde i fællesarealerne.

Beskrivelse af blokke

Blok 1 (Moodle-side)

Funktioner af flere variable. Emnerne svarer løst til det gamle kursus’ lektion 5, 6, 7, 8, 9 samt selvstudiet om Taylor-polynomier.

Blok 2 (Moodle-side)

Rumkurver. Emnerne svarer løst til det gamle kursus’ lektion 3, 4.

Blok 3 (Moodle-side)

Integration. Emnerne (inklusive workshops) svarer løst til det gamle kursus’ lektion 10, 11, 12, 13.

Blok 4 (Moodle-side)

Komplekse tal. Emnerne svarer løst til det gamle kursus’ lektion 14, 15.

Blok 5 (Moodle-side)

Differentialligninger. Emnerne svarer løst til det gamle kursus’ lektion 16, 17, 18.

Blok 6 (Moodle-side)

Optimering. Emnerne bygger videre på det gamle kursus’ lektion 7.

Blok 8 (Moodle-side)

Laplace. Emnerne svarer til dele af calculus rettet mod elektronik i det gamle kursus.

Træningsopgaver

Selvstudier findes på Pearsons platform. Adgang kan købes gennem Factum Books.

Der findes også et antal træningsapps.

Hjælpelærere under eksamensforberedelsen

Der er mulighed for at få hjælp gruppevist af hjælpelærere i perioden op til eksamen. Dette er organiseret i MS Teams hvor I tilmelder jer med koden icvhdv8 (man går ind under “alle Teams” og øverst til højre klikker man på ikonet “deltag i eller opret et team”/ “join or create a team”, og herefter kan man logge ind med sin kode.)

Der er hjælp til rådighed i forskellige tidsrum på udvalgte dage i januar. Skemaet for hjælpen findes under punktet “Filer” i toppen af teamet, hvor oversigten over eksamensforberedelse ligger.

Hjælpen består af spørgetid, hvor man kan stille spørgsmål indenfor kurset og få hjælp til konkrete opgaver. Der tages udgangspunkt i de workshops der danner grundlag for eksamen. Hjælpelærerne kender ikke nødvendigvis alle workshops i alle detaljer, så man bedes spørge i god tid og det kan være man får besked om at spørgsmålet først kan besvares senere.

Inde i Teamet har I selv mulighed for at oprette en ny kanal ved at klikke på “More”/“Mere” (de tre prikker ved Teamets navn) og vælge “Add channel”/“Tilføj kanal”. Hver gruppe bedes oprette en og kun en kanal navngivet med studieretning og gruppenr. f.eks. “MATØK - B306”. Når man har brug for hjælp går man ud i kanalen “General” og skriver i chatten: ”@Hjælp @MATØK - B306”. Ved at bruge “@Hjælp” får hjælpelærerne en notifikation om at der er nogen der skal bruge hjælp og ved @MATØK - B306 opstår der et link direkte til gruppens kanal som hjælpelæreren så kan trykke på når vedkommende har tid til at hjælpe.

I løbet af perioden varierer bemandingen efter hvornår vi forventer behovet er størst, så ventetiden kan variere en del. Sørg gerne for at forberede jer i god tid, så I ikke bliver fanget af lang kø til hjælpelærerne sidste dag før eksamen.