Lineær algebra, 2015 efterår

Litteratur

  • [SIF] L. E. Spence, A. J. Insel, og S. H. Friedberg, "Elementary Linear Algebra: A Matrix Approach," 2nd Edition, Pearson, Prentice Hall, 2008. Denne bog er identisk med Compiled by Olav Geil, "Elementary Linear Algebra," Pearson, 2015.

Supplerende litteratur

  • Bo Rosbjerg og Henrik Vie Christensen, Kompendium i Lineær algebra.

MATLAB

Brugen af Matlab indgår som en integreret del af de fire kursusgange uden forelæsning samt i et vist omfang også i øvrige kursusgange. Studerende kan frit downloade Matlab via IKT linket på http://www.tnb.aau.dk/. Find yderligere information i MATLAB-centret (bl.a. en video, der viser hvordan MATLAB installeres).

Eksamen

Kurset evalueres ved en fire timers skriftlig eksamen uden brug af elektroniske hjælpemidler. Du må medbringe alle former for noter og bøger. Man skal deltage AKTIVT i de 4 miniprojekter for at få lov til at gå til den skriftlige eksamen. Aktivkravet er opfyldt hvis man er registreret (løbende registrering i skema af hjælplærere) for at have deltaget aktivt i mindst tre af de fire miniprojekter (arbejd-selv-kursusgange). Har man alene deltaget i to, da skal de resterende to miniprojekter besvares individuelt og afleveres til godkendelse hos underviser. Har man alene deltaget i en arbejd-selv-gang, da skal de resterende tre opgavesæt afleveres. Har man ikke deltaget i nogen arbejd-selv-kursusgang, ja så skal samtlige fire opgavesæt afleveres individuelt til underviseren.

Se også Moodle.

Bogguide

Bogen til dette kursus er

  • [SIF] L. E. Spence, A. J. Insel, og S. H. Friedberg, "Elementary Linear Algebra: A Matrix Approach," 2nd Edition, Pearson, Prentice Hall, 2008.

Forlaget har desværre lavet nogle fejl, der gør at der i praksis eksisterer tre versioner af samme bog. Det beklager vi naturligvis. Her forsøger vi at forklare, hvor materialet dette kursus gør brug af, kan findes i bøgerne. Se kursusplan nederst.

Kapitel Bog 1: Original bog Bog 2: Specialprint 1
(sidetal såvel øverst som nederstå på siden)
Bog 3: Specialprint 2
(sidetal nederst på siden)
Bog 4: Compiled by Olav Geil, "Elementary Linear Algebra," Pearson, 2015

Sidetal øverst
ISBN: 0-13-158034-5

Sidetal både øverst og nederst
ISBN: 978-1-292-02503-2

Sidetal nederst
ISBN: 978-1-292-02503-2

Sidetal øverst
ISBN: 978-1-78448-372-2
Kapitel 1-5 Kapitel 1-5 er det samme
"Orthogonality" Kapitel 6 s. 359-486
 
Kapitel 6 s. 359-486
s. 423-550
Kapitel 7
s. 423-550

(Bemærk at dette dog er kapitel 6 i facitlisterne)
Kapitel 6 s. 359-486
 
"Vector spaces" Kapitel 7 s. 489-549
 
Kapitel 7 s. 489-549
s. 353-421
Kapitel 6
s. 353-421

(Bemærk at dette dog er kapitel 7 i facitlisterne)
Kapitel 7 s. 489-549
 

Kursusplan

1.gang :
Introduktion til vektorer og matricer: 1.1, 6.1 p. 361-366, dog læses på s. 364 - 365 kun sætningerne. (Bog 3: 7.1. p.425-430 dog læses på s. 428 - 429 kun sætningerne.) 1.2 til p.19 nederst.
2.gang :
Matrixvektorprodukt og lineære ligningssystemer: 1.2 fra p. 19, 1.3
3.gang:
Gauss-elimination. Span.1.4 og 1.6
4.gang:
Lineær uafhængighed: 1.7
5.gang:
Miniprojekt 1.(Lineære ligningssystemer - løsninger i MatLab)
6.gang:
Lineære afbildninger og matrixrepræsentationer. 2.7. 2.8 til s. 185 midt. (Generelt om funktioner.(Injektive, surjektive og bijektive), se Appendix B)
7.gang:
Multiplikation af matricer, sammensætning af lineære afbildninger. 2.1 og 2.8 p.185 midt til 187
8.gang:
Inverterbare matricer og invertible lineære transformationer. 2.3, 2.4 og 2.8 p.187-188
9.gang:
Determinanter. 3.1 og 3.2 til s. 217 l.9.
10.gang:
Miniprojekt 2 (0-1 matricer, Kirchoffs love)
11.gang:
Underrum, basis for underrum. 4.1 og 4.2 frem til midt på side 245
12.gang:
Dimension, Rang og nullitet. 4.2, resten af afsnittet, 4.3
13.gang:
Koordinatsystemer. 4.4
14.gang:
Lineære transformation og koordinatsystemer. 4.5
15.gang:
Egenvektorer og og egenværdier. 5.1 og 5.2 til s. 307 nederst.
16.gang:
Diagonalisering. 5.3
17.gang:
Miniprojekt 3 (Systemer af diff. ligninger, 5.5)
18.gang:
Ortogonalitet, Gram Schmidt, QR-faktorisering. 6.2 (Bog 3: 7.2)
19.gang:
Ortogonale projektioner. Ortogonale matricer. 6.3. (Bog 3: 7.3)
20.gang:
Ortogonale matricer Ortogonale afbildninger i planen. 6.5 til s. 419. (Bog 3: 7.5 til s.483)
21.gang:
Miniprojekt 4 (Mindste kvadraters metode, 6.4 (Bog 3: 7.4)
22.gang:
Stive flytninger. 6.5: p.419-421 (Bog 3: 7.5: p.483-485)

Opgaver

Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Bemærk, at de fire miniprojekter afholdes sideløbende med de 18 ordinære kursusgange. Nummereringen nedenfor, henviser til nummeret på den ordinære kursusgang. Dette er alene for de første kursusganges vedkommende identisk med kursusgangens nummer.

To typer kursusgange, dog anderledes første og sidste kursusgang.:

Type 1: Repetition, opgaveregning, Forelæsning 1, Forelæsning 2.

Type 2: Repetition, Forelæsning 1, opgaveregning, Forelæsning 2.

Opgaverne er som udgangspunkt til type 1. Der er til hver gang tilføjet opgaver til type 2.

Brugsanvisning til opgaverne:

  • Opgaverne er struktureret efter indhold.
  • Regn først de opgaver, der ikke er understregede, i den rækkefølge, de står. Gå så tilbage og regn de understregede.
  • Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få.
  • Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7.gang skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til første gang.
  • Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver, som typisk omfatter omkring 30% af de mulige point.

1. ordinære kursusgang.

Forelæsning.Introduktion til vektorer og matricer: 1.1, 6.1 p. 361-366, dog læses på s. 364 - 365 kun sætningerne. 1.2 til p.19 nederst.

Opgaver. Struktur: Introduktion samt forelæsning. Opgaveregning.

  • Afsnit 1.1 Matricer og vektorer.
    • Addition og multiplikation med en skalar. opg. 1,3,7.
    • Transponering opg. 5,11,9.
    • Kan to givne matricer adderes: 19, 21,
    • Test din forståelse af matricer og vektorer: Sandt/Falsk 37-39, 41,42, 44-56.
  • Afsnit 6.1. Skalarprodukt og ortogonalitet:
    • Beregn norm af og afstand mellem vektorer 1, 7.
    • Er to vektorer ortogonale: 9, 15
  • Afsnit 1.1 Symmetriske matricer 71, 72, 75.

2.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Matrixvektorprodukt og lineære ligningssystemer: 1.2 fra p. 19, 1.3

Opgaver:.

  • Afsnit 1.2
    • Matrixvektorprodukt: 1,3,5, 7 9,11,15. Vink: Pencast.
    • Linearkombinationer: Skriv en vektor som en linearkombination af en mængde af vektorer: 29, 33, 31, 35, 39
    • Test din forståelse af linearkombinationer. 45-51.
    • Afsnit 1.1
      • Bestem søjler og rækker i en matrix 29, 31
      • Skævsymmetriske matricer 79, 80, 81

For type 2 kursusgange: Desuden Afsnit 1.2. Opskriv 2 × 2 rotationsmatricer. 17

3.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Gauss-elimination. Span. 1.4 og 1.6

Opgaver:.

  • Afsnit 1.2.
    • Opskriv 2 × 2 rotationsmatricer. 17, 19
    • Test din forståelse af matrix-vektorproduktet. 51-64
  • Afsnit 1.3.
    • Opstil koefficientmatricen og den udvidede matrix for et ligningssystem: 1,3,5.
    • Rækkeoperationer: 7,9,11
    • Afgør, om en vektor er løsning til et ligningssystem. 23, 25.
    • Afgør, om et ligningssystem er konsistent udfra den reducerede echelonform. Find i så fald den generelle løsning. 39, 43, 41.
    • Som ovenfor, men skriv desuden den generelle løsning på vektorform. 47, 49.
    • Test din forståelse af Lineære ligningssystemer og tilhørende matricer. 57-76

Type 2: Opgave i dagens stof. Afsnit 1.4. Bestem, om et lineært ligningssystem er konsistent. Find i så fald den generelle løsning. Opg. 3

4.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Lineær uafhængighed: 1.7

Opgaver:.

  • Afsnit 1.4:
    • Bestem, om et lineært ligningssystem er konsistent. Find i så fald den generelle løsning. 1,5,9,3,7,11
    • Bestem rang og nullitet for en matrix. 37, 35.
    • Test din forståelse af Gauss-elimination: 53-72.
  • Afsnit 1.6.
    • Er v i Span( S)?. 1,3,7
    • Er v i Span(S)? En koordinat i v er ubekendt. 17, 19
    • Er Ax = b konsistent for alle b? 31,33.
    • Test din forståelse af span. 45-64.
    • Om sammenhængen mellem Span(S) og span af linearkombinationer af S. 71, 72. Konsekvenser for rækkeoperationer: 77, 78.
  • Afsnit 1.4:
    • Ligningssystemer, hvor en koefficient er en ubekendt, r. Bestem for hvilke r, systemet er inkonsistent. 17, 19,21

Type 2: Opgave i dagens stof: Afsnit 1.7 opgave 1,5.

5.gang= Miniprojekt 1.

.(Lineære ligningssystemer - løsninger i MatLab)

6.gang=5.ordinære kursusgang.

Forelæsning:.Lineære afbildninger og matrixrepræsentationer. 2.7. 2.8 til s. 185 midt. (Generelt om funktioner.(Injektive, surjektive og bijektive), se Appendix B)

Opgaver:.

  • Afsnit 1.7.
    • Bestem, om en mængde vektorer er lineært afhængige. 1,5,7,9,11
    • Find en lille delmængde af S, med samme span som S.13, 15.
    • Bestem om en mængde af vektorer er lineært uafhængig. 23,25,27
    • Test din forståelse af lineær (u)afhængighed 1.7 63-82.
    • En mængde af vektorer, hvor en vektor indeholder en ubekendt r. Bestem for hvilke r, om nogen, mængden er lineært afhængig. 41.

Type 2. Opgave i dagens stof: Afsnit 2.7 Opgave 1, 3

7.gang=6.ordinære kursusgang.

Forelæsning:.Multiplikation af matricer, sammensætning af lineære afbildninger. 2.1 og 2.8 p.185 midt, til 187

Opgaver:.

  • Afsnit 2.7.
    • T : X Y er induceret af en matrix. Find X og Y . 1, 3
    • Find billedet af en vektor ved den lineære transformation induceret af en matrix. 7, 11
    • Udfra forskriften for T bestemmes n og m, så T : n m. 21 23
    • Bestem standardmatricen for en lineær afbildning. 25, 27, 29,31, 33
    • Test din forståelse af lineære afbildninger og matrixrepræsentation. 35-54.
  • Afsnit 2.8.
    • Bestem en udspændende mængde for billedmængden. 1,3
    • Afgør om følgende funktioner er surjektive (onto), injektive (one-to-one), bijektive.
      • f : , f(x) = x2 + 1
      • g : , g(x) = x3 + 1
      • h : Mængden af danske statsborgere h(x) er CPR-nummeret for x.
      • 61, 65.
    • Afgør ved at finde en udspændende mængde for nulrummet, hvorvidt en afbildning er injektiv. 13, 15, 17
    • Afgør ved at finde standardmatricen, hvorvidt en given lineær afbildning er injektiv. 25, 29, surjektiv. 33, 35.
    • Test din forståelse af afsnit 2.8 (til side 185). 41-55.
  • Afsnit 2.7.
    • Hvis T er lineær og vi kender T(v), hvad er så T(cv). 57
    • Afgør, om T : n m er lineær. 77, 73, 79

Type 2: Opgave i dagens stof: Afsnit 2.1 opgave 1 og 5.

8.gang=7.ordinære kursusgang.

Forelæsning:.Inverterbare matricer og invertible lineære transformationer.2.3, 2.4 og 2.8 p.187-188

Opgaver:.

  • Afsnit 2.1.
    • Bestem, om produktet af to matricer er defineret og find størrelsen, m × n, af produktet. 1,3
    • Udregn matrixprodukter. 5,9,11,7. Udregn en bestemt indgang i produktmatricen. 25
    • Test din forståelse af produkt af matricer. 33-50.
  • Afsnit 2.8.
    • Bestem en forskrift for den sammensatte afbildning U T udfra U og T. 69. Bestem standardmatricerne for T, U og U T. 70, 71,72.
    • Test din forståelse af afsnit 2.8 - om sammensatte afbildninger og deres matricer. 56-58.
  • MatLab: Afsnit 2.1 opg. 53

Type 2: Opgave i dagens stof Afsnit 2.3 opg. 1, 3.

9.gang=8.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Determinanter. 3.1 og 3.2 til p. 217 l.9.

Opgaver:.

  • Afsnit 2.3.
    • Bestem, om B = A1. 1,3
    • Givet A1 og B1. Udregn den inverse af kombinationer af A og B. 9, 11.
    • Elementære matricer. Find inverse. 17, 19. Givet A, B, find elementære matricer, så EA = B. 25, 29.
  • Afsnit 2.4. Givet en matrix. Er den invertibel? Find i så fald den inverse. 1, 3, 5, 9, 13
  • Afsnit 2.8 Sammenhængen mellem invertible matricer og invertible lineære afbildninger. 59,60.
  • Afsnit 2.4.
    • Rækkereduktionsalgoritmen til beregning af A1B. 19
    • Test din forståelse af Afsnit 2.4. 35-54.
    • Løs et lineært ligningssystem ved invertering af koefficientmatricen. 57.
    • Rækkereduktion til at bestemme reduceret echelonform R af A og samtidig P, så PR = A. 27.
  • Afsnit 2.3
    • Søjlekorrespondenceprincippet. 67.
    • Skriv en søjle som linearkombination af pivotsøjlerne. 75.
  • MatLab. Afsnit 2.8. Bestem standardmatricen for en lineær afbildning. Beregn den inverse matrix (MatLab). Find en forskrift (“rule”) for den inverse afbildning. 100

Type 2: Afsnit 3.1 opgave 1, 3.

10.gang= Miniprojekt 2.

(0-1 matricer, Kirchoffs love)

11.gang=9.ordinære kursusgang.

Forelæsning:.Underrum, basis for underrum. 4.1 og 4.2 til p.245, mid.

Opgaver:.

  • Afsnit 3.1
    • Determinant af en 2 × 2 matrix. 1, 3, 7. Beregn også den inverse ved at bruge formlen side 200.
    • Determinant af en 3 × 3 matrix ved kofaktormetoden. 13, 15
    • Beregn determinanter - frit valg af metode. 21, 23.
    • Determinant af 2 × 2 matrix og areal. 29
    • Determinant og invertibilitet. 37.
    • Test din forståelse af determinanter og kofaktorer. 45-64
  • Afsnit 3.2
    • Beregn determinanter- udvikling efter en given søjle, 1, 5
    • Beregn determinanter ved brug af rækkeoperationer. 13, 15, 21, 23
    • Test din forståelse af determinanters egenskaber. 39-58.
  • Afsnit 3.1 Vis formlen det(AB) = det(A)det(B) for 2 × 2 matricer. 71
  • Afsnit 3.2 Vis formlen det(B1AB) = det(A) for n × n matricer A og B, hvor B er invertibel. 71

Type 2: Afsnit 4.1 Opgave 1, 11.

12.gang=10.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Dimension, Rang og nullitet. Resten af 4.2, 4.3

Opgaver:.

  • Afsnit 4.1
    • Find en udspændende mængde for et underrum. 1, 5, 9.
    • Er en vektor i nulrummet for en given matrix. 11, 15
    • Er en given vektor i søjlerummet for en given matrix. 19,21
    • Find en udspændende mængde for nulrummet af en matrix. 27, 29
    • Test din forståelse af underrum, nulrum, søjlerum. 43-62.
    • Vis, at en mængde ikke er et underrum. 81,
    • Vis, at en mængde er et underrum. 89
    • Nulrum for en lineær afbildning er et underrum. 96.
  • Afsnit 4.2.
    • Find en basis for nulrum og søjlerum for en matrix. 1, 3, 5.
    • Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation 9,
  • Afsnit 4.1 Find en udspændende mængde for søjlerummet for en matrix. Med et foreskrevet antal elementer. 67, 69 .

Type 2: Afsnit 4.2 opgave 17

13.gang=11.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Koordinatsystemer. 4.4

Opgaver:.

  • Afsnit 4.2
    • Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation. 9, 11, 13 15
    • Find en basis for et underrum 17, 19, 23
    • Test din forståelse af Basis og dimension. 33-52.
  • Afsnit 4.3.
    • Bestem dimension af søjlerum, nulrum og rækkerum for en matrix A samt nulrum for AT .
      • Når A er på reduceret echelonform. 1, 3.
      • Generelt. 7.
    • Bestem dimensionen af et underrum. 15
    • Find en basis for rækkerum. 17, 19.
    • Test din forståelse af dimension af underrum hørende til matricer. 41-60.
    • Vis, at en given mængde er en basis for et givet underrum. 61, 63.
  • Afsnit 4.2
    • Forklar, hvorfor en given mængde ikke udspænder. (Vink: opg. 44), 55
    • Forklar, hvorfor en given mængde ikke er lineært uafhængig.(Vink: Opg.46) 57.

Type 2: Afsnit 4.4, opgave 1, 13.

14.gang=12.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Lineære transformationer og koordinatsystemer. 4.6

Opgaver:.

  • Afsnit 4.4.
    • Find v udfra [v] og . 1, 7
    • Når v er givet som en linearkombination af elementer i en basis , hvad er så [v]? 13
    • Find [v] udfra og v. 15, 17, 19
    • Skriv en vektor som en linearkombination af en mængde vektorer. 25, 27
    • Test din forståelse af koordinatsystemer. 31-50
    • Hvad er sammenhængen mellem matricen [[e1][e2]] og matricen, hvis søjler er vektorerne i . 51, 53
    • En basis for planen er givet ved rotation af standardbasen. Hvad er sammenhængen mellem v og [v]. 55, 67, 75
    • Ligning for keglesnit før og efter basisskift. 79
    • Hvad betyder det, at der findes en vektor v, så [v]A = [v]B? 99.

Type 2: Afsnit 4.5 opgave 1, 3.

15.gang=13.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Egenvektorer og og egenværdier. 5.1 og 5.2 til p. 307

Opgaver:.

  • Afsnit 4.5
    • Bestem matricen for T mht. . 1,3,7
    • Bestem standardmatricen for T udfra [T] og . 11, 15
    • Test din forståelse af matrixrepræsentationer af lineære operatorer 20-23, 25-38
    • Bestem [T], standardmatricen for T og en forskrift for T udfra T(bi) for alle b . 47, 49, 51
    • Find [T] udfra T(bi) som linearkombination af . Find så T(w), hvor w er en linearkombination af . 39, 55 43,59

Type 2: Afsnit 5.1 opg. 3, 7.

16.gang=14.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Diagonalisering. 5.3

Opgaver:.

  • Afsnit 5.1
    • Vis, en vektor er en egenvektor. 3, 7
    • Vis, en skalar er en egenværdi. 13, 21
    • Test din forståelse af egenværdier og egenvektorer. 41-56, 57-60
  • Afsnit 5.2
    • Find egenværdier og en basis for de tilhørende egenrum
      • For en matrix - givet dens karakteristiske polynomium 1, 3,11
      • For en matrix. 15, 19
      • For lineær operator -givet dens karakteristiske polynomium. 31
      • For en lineær operator. 37
    • Har en 2 × 2 matrix nogen (reelle) egenværdier? 41
    • Test din forståelse af det karakteristiske polynomium, multipliciteter af egenværdier. 53-59, 61,63-65, 69-72.
    • Sammenhængen mellem egenrum for B og cB 81.
    • Sammenhæng mellem egenværdier (og egenvektorer?) for B og BT 83.

Type 2: Afsnit 5.3 opg. 1 og 3.

17.gang = Miniprojekt 3.

(Systemer af diff. ligninger, 5.5)

18.gang=15.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Ortogonalitet, Gram Schmidt, QR-faktorisering. 6.2

Opgaver:.

  • Afsnit 5.5. Disse opgaver bygger på miniprojekt 3.
    • Test din viden om systemer af differentialligninger. 8-11
  • Afsnit 5.3
    • Givet en matrix A og dens karakteristiske polynomium. Find P og en diagonalmatrix D, så A = PDP1 eller forklar, hvorfor A ikke er diagonaliserbar. 1, 3, 5,7,9
    • Som ovenfor, men det karakteristiske polynomium er ikke givet. 13, 15 17
    • Test din forståelse af diagonalisering af matricer. 29-37, 39-43, 45,46
    • Udfra egenværdier og deres multiplicitet afgøre, om A er diagonaliserbar. 49, 51
    • Udfra egenværdier og en basis for egenrummene udregnes Ak. 57, 59
    • En matrix og dens karakteristiske polynomium er givet. Der indgår en ubekendt. For hvilke værdier er matricen ikke diagonaliserbar. 63
  • Afsnit 5.5, igen om differentialligninger
    • Find den generelle løsning til et system af differentialligninger. 45
    • Find i opgave 45 den løsning, der opfylder y1(0) = 1 og y2(0) = 4. (Facit: y1(t) = e3t + 2e4t. y2(t) = 3e3t + e4t)

Type 2: Afsnit 6.2 opg. 1,3.

19.gang=16.ordinære kursusgang.

Forelæsning:.Ortogonale projektioner. 6.3

Opgaver:.

  • Afsnit 6.1 (genopfriskning)
    • Test din forståelse af skalarprodukt og ortogonalitet. 61-70, 73-80
  • Afsnit 6.2
    • Bestem, hvorvidt en mængde vektorer er ortogonal. 1, 3, 7
    • Brug Gram-Schmidt. 9,11,13, 15
    • QR-faktorisering. 25,27,29, 31
    • Løs ligningssystemer ved QR-faktorisering. 33, 35, 37,39. OBS: Vis, at de fundne løsninger til Rx = QT b også løser Ax = b. (For de kvikke: Hvorfor er det nødvendigt?)
    • Test din forståelse af Gram-Schmidt og QR-faktorisering. 41-52

Type 2: Afsnit 6.3 opg. 1, 3

20.gang=17.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Ortogonale matricer. Ortogonale afbildninger i planen 6.5 til s. 419.

Opgaver:.

  • Afsnit 6.1 (genopfriskning) Projektion på en linje. 43, 45
  • Afsnit 6.3
    • Find en basis for det ortogonale komplement. 1, 3, 5
    • Skriv en vektor u som en sum u = w + z, hvor w W and z W. 9,11
    • Som ovenfor. Desuden: Find matricen PW for ortogonal projektion på W, find afstand til W. 17,19,21 Vink til 21: Pas på, søjlerne i A er ikke lineært uafhængige.
    • Tjek din forståelse af ortogonal projektion og ortogonalt komplement. 33-56.
    • Hvad er det ortogonale komplement til det ortogonale komplement? 63
    • Hvad er (PW )2 og (PW )T . 67
    • Find PW udfra en ortonormal basis for W. 75

Type 2: Afsnit 6.5 opg. 1, 4.

21.gang = Miniprojekt 4.

(Mindste kvadraters metode, 6.4)

22.gang=18.ordinære kursusgang.

Forelæsning:. Stive flytninger. 6.5 p.419-421. Repetition - gennemgå eksempelvis et eksamenssæt i store træk.

Opgaver:. Kursusgangen afholdes med Repetion, Forelæsning 1, forelæsning 2, opgaveregning.

  • Afsnit 6.5
    • Genkend en ortogonal matrix. 1,4,5,3
    • Bestem, om en ortogonal 2 × 2 matrix er en spejling eller en rotation og find spejlingsakse eller rotationsvinkel. 9, 11
    • Ortogonale matricer og egenværdier. 49
    • Flytninger i planen. Bestem Q og b, så F(v) = Qv + b for alle v. 61, 63
    • Lad Qx og Qz være matricerne for rotation 90 om hhv. x-aksen og z-aksen. Qx = 10 0 0 0 1 0 1 0 Qz = 0 10 1 0 0 0 0 1

      Lad Q = QxQz være matricen for den sammensatte afbildning. Det er også en rotation. Find egenrummet hørende til egenværdien 1 og dermed rotationsaksen.(Facit: Span([1 11]T ))

  • Del II af Eksamenssættet fra 8.januar 2013
    http://www.first.math.aau.dk/digitalAssets/62/62210_lial_8jan_13.pdf

    Bemærk, at der er flere typer multiple choice opgaver.

Miniprojekter

Ved alle miniprojekter skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).

Miniprojekt 1

Opgaven understøttes af screencast 1, 2 og 3, der kan findes i MATLAB-centret.

Linket http://www.mathworks.com/help/techdoc/math/f4-983672.html i PDF-filen er nu ugyldigt. Se venligst http://mathworks.com/help/matlab/math/systems-of-linear-equations.html i stedet.

Miniprojekt 2

Opgaven understøttes af screencast 4 og 5, der kan findes i MATLAB-centret.

Miniprojekt 3

Tryk her for at downloade Matlab-kode, der henvises til i opgaven. Bemærk, at det er en zip-fil (bestående af 5 m-filer, der er blevet komprimeret). Filen skal altså pakkes ud efter download.

Opgaven understøttes af screencast 6, der kan findes i MATLAB-centret.

Miniprojekt 4

I forbindelse med miniprojektet, skal følgende MATLAB-filer anvendes:

Opgaven understøttes af screencast 7, der kan findes i MATLAB-centret.


Warning: include(cas-dan.php) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /srv/web/first.math.aau.dk/http/content/2015e/linalg/index-dan.php on line 32

Warning: include() [function.include]: Failed opening 'cas-dan.php' for inclusion (include_path='.:/srv/web/first.math.aau.dk/php-lib:/usr/share/php') in /srv/web/first.math.aau.dk/http/content/2015e/linalg/index-dan.php on line 32

Gamle eksamensopgaver

Bemærk: ny struktur i prøvens opbygning. Relevant fra og med efteråret 2015.

Tidligere eksamensopgaver

Bogguide

Bogen til dette kursus er

  • [SIF] L. E. Spence, A. J. Insel, og S. H. Friedberg, "Elementary Linear Algebra: A Matrix Approach," 2nd Edition, Pearson, Prentice Hall, 2008.

Forlaget har desværre lavet nogle fejl, der gør at der i praksis eksisterer tre versioner af samme bog. Det beklager vi naturligvis. Her forsøger vi at forklare, hvor materialet dette kursus gør brug af, kan findes i bøgerne. Se pensum nederst.

Kapitel Bog 1: Original bog Bog 2: Bog solgt sidste år og i år Bog 3: Nyeste bog

Sidetal øverst
ISBN: 0-13-158034-5

Sidetal både øverst og nederst
ISBN: 978-1-292-02503-2

Sidetal nederst
ISBN: 978-1-292-02503-2
Kapitel 1-5 Kapitel 1-5 er det samme for de tre bøger
"Orthogonality" Kapitel 6 s. 359-486
 
Kapitel 6 s. 359-486
s. 423-550
Kapitel 7
s. 423-550

(Bemærk at dette dog er kapitel 6 i facitlisterne)
"Vector spaces" Kapitel 7 s. 489-549
 
Kapitel 7 s. 489-549
s. 353-421
Kapitel 6
s. 353-421

(Bemærk at dette dog er kapitel 7 i facitlisterne)

Pensum

[SIF] L. E. Spence, A. J. Insel, og S. H. Friedberg, "Elementary Linear Algebra: A Matrix Approach," 2nd Edition, Pearson, Prentice Hall, 2008:

Henvisning angivet i hævet skrift henviser til bog 1 og 2 (sidetal øverst) og henvisning i sænket skrift henviser til bog 3 (sidetal nederst).

  • Matrices Vectors and Systems of Linear Equations: Afsnit 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7
  • Matrices and Linear Transformations: Afsnit 2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.8
  • Determinants: Afsnit 3.1, 3.2 til side 217 l.9
  • Subspaces and their Properties: Afsnit 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
  • Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalization: Afsnit 5.1, 5.2 til side 307 nederst, 5.3
  • Orthogonality: Bog 1 og 2: Afsnit 6.1 til side 366, 6.2, 6.3, 6.5.. Bog 3: Afsnit 7.1 til side 430, 7.2, 7.3, 7.5