BasalMat

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Talmængder	Numbersets 1 Numbersets 2 Introduction to rational and irrational numbers		Tal
Hierarki	Order of Operations 1	order of operations 2	Regnearternes-hierarki
Potenser	Introduction to negative exponents products and exponents raised to an exponent properties capstone-exponent-properties-example	Exponents 2 properties of integer exponents Exponent rules	Potenser
Rødder	simplifying radicals more-simplifying-radical-expressions	simplifying_radicals	Kvadratrødder og andre rødder
Brøker	adding-fractions-with-unlike-denominators subtracting-fractions-with-unlike-denominators multiplying-fractions-and-whole-numbers multiplying-fractions-and-whole-numbers multiplication-as-scaling another-dividing-fractions-example examples-of-dividing-negative-fractions	adding_and_subtracting_radicals adding fractions subtracting fractions adding and subtracting fractions multiplying fractions by integers Fraction multiplication as scaling examples of dividing negative fractions	addition-og-subtraktion-af-brøker multiplikation-og-division-med-brøker

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Reduktion af udtryk	combining-like-terms 2 combining-like-terms-3 combining-like-terms-and-the-distributive-property	combining_like_terms_1 combining_like_terms_2
Gange parenteser	multiplying-and-dividing-monomials-3 monomial-greatest-common-factor multiplication-of-polynomials	manipulating-linear-expressions-with-rational-coefficients manipulating-linear-expressions-with-rational-coefficients nested-fractions
Kvadratsætninger	square-a-binomial special-products-of-binomials	multiplying_expressions_0.5 multiplying_expressions_1
Faktorisering	factoring-and-the-distributive-property-3 factoring-polynomials-1 factor-by-grouping-and-factoring-completely	factoring_polynomials_1 factoring_polynomials_2 factoring_polynomials_by_grouping_1

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
1. grads ligninger	adding-and-subtracting-the-same-thing-from-both-sides intuition-why-we-divide-both-sides why-we-do-the-same-thing-to-both-sides-multi-step-equations two-step-equations solving-equations-2 number-of-solutions-to-linear-equations-ex-3	linear_equations_2 linear_equations_3 understanding-the-process-for-solving-linear-equations solutions-to-linear-equations solving_for_a_variable	ligninger
2 ligninger med 2 ubekendte	systems-with-elimination-practice	systems_of_equations_with_elimination_0.5 systems_of_equations_with_elimination	to-ligninger-med-to-ubekendte grafisk-losning-af-to-ligninger-med-to-ubekendte
2.grads ligninger	using-the-quadratic-formula quadratic-formula-3	quadratic_equation	andengradsligningen

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Definition af funktion	what-is-a-function understanding-function-notation-example-2	functions_1	hvad-er-en-funktion
Invers funktion	introduction-to-function-inverses function-invertibility making-function-invertible solving-inverse-function-equation	inverses_of_functions algebraically-finding-inverses understanding-inverse-functions	omvendte-funktioner
Eksponential og logaritme funktioner	exponential-growth-functions logarithms comparing-exponential-logarithmic-functions introduction-to-logarithm-properties introduction-to-logarithm-properties-part-2 logarithm-of-a-power	logarithms_1 using-logarithms-to-solve-exponential-equations logarithms_2	eksponentiel-udvikling logaritmer
Trigonometriske funktioner	unit-circle-definition-of-trig-functions-1 trig-functions-special-angles inverse-trig-functions-arcsin inverse-trig-functions-arccos inverse-trig-functions-arctan	unit_circle trigonometric-functions-of-special-angles inverse_trig_functions understanding-inverse-trig-functions	cosinus-og-sinus tangens

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Definition af differential kvotient	calculus-derivatives-1-new-hd-version derivative-intuition-module	derivative_intuition	differenskvotient-og-differentialkvotient
Differentiation af forskellige funktioner og regneregler for differentiation	power-rule derivative-properties-and-polynomial-derivatives derivatives-of-sin-x-cos-x-tan-x-e-x-and-ln-x	power_rule special_derivatives	afledede-funktioner regneregler-for-differentialkvotienter differentiation-af-trigonometriske-funktioner
Differentiation af sammensatte funktioner	chain-rule-introduction chain-rule-definition-and-example chain-rule-for-derivative-of-2-x chain-rule-with-triple-composition	chain_rule_1 chain-rule-on-three-functions	differentiation-af-sammensat-funktion
Differentiation af produkt og kvotient	applying-the-product-rule-for-derivatives product-rule-for-more-than-two-functions quotient-rule-from-product-rule	product_rule quotient_rule
Integrations regler	antiderivatives-and-indefinite-integrals indefinite-integrals-of-x-raised-to-a-power antiderivative-of-hairier-expression basic-trig-and-exponential-antiderivatives	antiderivatives indefinite-integrals
Integration ved substitution	u-substitution u-substitution-and-back-substitution	integration-by-the-reverse-chain-rule integration-by-u-substitution	integration-ved-substitution

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Definition af differential kvotient	slope-of-a-line-secant-to-a-curve calculus-derivatives-1-new-hd-version derivative-intuition-module	derivative_intuition	differenskvotient-og-differentialkvotient
Differentiation af forskellige funktioner og regneregler for differentiation	power-rule derivative-properties-and-polynomial-derivatives derivatives-of-sin-x-cos-x-tan-x-e-x-and-ln-x	power_rule special_derivatives	afledede-funktioner regneregler-for-differentialkvotienter
Areal		area-between-a-curve-and-an-axis	bestemt-integral-og-areal areal-mellem-to-funktioner
Optimering	minimizing-sum-of-squares minimizing-the-cost-of-a-storage-container	optimization	optimering

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Introduktion til differentialligninger	differential-equation-introduction finding-particular-linear-solution-to-differential-equation		hvad-er-differentialligninger gore-prove
Seperable differentialligninger	separable-differential-equations-introduction particular-solution-to-differential-equation-example		losninger-til-differentialligninger eksponentiel-vakst inhomogene-lineare-forsteordens-differentialligninger separation-af-variable
Modellering	newtons-law-of-cooling

Emne	Khan Academy	Khan Academy opgaver	Webmatematik
Ubestemte integraler og Integrations regler	antiderivatives-and-indefinite-integrals indefinite-integrals-of-x-raised-to-a-power antiderivative-of-hairier-expression basic-trig-and-exponential-antiderivatives	antiderivatives indefinite-integrals	stamfunktion ubestemt-integral integrerede-funktioner regneregler-for-integraler
Bestemte integraler og Bestemmelse af arealer	area-under-rate-net-change simple-riemann-approximation-using-rectangles riemann-sums-and-integrals connecting-the-first-and-second-fundamental-theorems-of-calculus definite-integrals-and-negative-area integrating-function-sums	area-under-a-rate-function-equals-net-change area-between-a-curve-and-an-axis evaluating-definite-integrals properties-of-integrals	bestemt-integral-og-areal areal-mellem-to-funktioner

Opgave 1. Udregn følgende tal:

1. $3 \cdot 2 - \frac{15}{3}+\frac{8}{4}-4$
2. $-6^2$
3. $(-6)^2$
4. $3 \cdot (5-7)-2+3 \cdot 4-3 \cdot (6-9)$

Opgave 2. Udregn følgende tal:

1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{3}$
2. $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{8}$
3. $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}$
4. $\frac{3}{4}-\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4}$
5. $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$
6. $6 \cdot \frac{2}{5}$
7. $6 : \frac{2}{5}$
8. $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}-\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$
9. $\frac{1}{4} +2 \cdot \frac{4}{16}$

Opgave 3. Udregn følgende tal:

1. $(\sqrt{4})^2$
2. $(\sqrt{2})^2$
3. $(-\sqrt{2})^2$
4. $(\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$
5. $3\sqrt{8}+\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})$
6. $\frac{2\sqrt{14}+4\sqrt{63}}{\sqrt{2((2\sqrt{2})^2+10}}$

Opgave 4. Omskriv til potenser med grundtal 2 og 3:

1. $3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-3}$
2. $\frac{3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-4}}{3^3 \cdot 3^{-6}}$
3. $\frac{(\frac{3}{4})^3 \cdot 2^4 \cdot (3^{-2})^3}{3^{-3} \cdot 2^{10}}$
4. $3^4 \cdot 6^2 \cdot 12^3 \cdot 6^4$
5. $\frac{2^3 \cdot 6^3 \cdot 12^3 \cdot 3^{-8}}{4^2 \cdot 9^3}$

Opgave 5. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Reducer følgende udtryk:

1. $3x+5y-2xy+7x-2xy+2y$
2. $3x^2+3x+4y-3x+2y+y^2$
3. $2x^2+3xy-yx+x^2$
4. $3x(x-1)-2(1+x^2)$
5. $(2+x)(x-1)-4(x-1)$
6. $x(2x-1)-(3x-2)(x-1)$
7. $(x-1)(1-\frac{1}{x})+2(1-\frac{x}{2})$

Opgave 2. Udregn følgende udtryk og reducer

1. $(x+3)^2$
2. $(4x-5)^2$
3. $(a-2)^2-a(a-1)$
4. $(s-1)(s+1)+1$
5. $(x+\sqrt{3})^2-\sqrt{3}(x+2\sqrt{3})$
6. $(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})-\sqrt{6}(x-\sqrt{24})$

Opgave 3. Reducer følgende brøker

1. $\frac{9a^2b^5}{3(ab)^3}$
2. $\frac{6a^3b^{-4}}{(2a^2b)^2}$
3. $\frac{2x^{-4}y^3}{(2y^2x)^{-2}}$
4. $\frac{(x+3)^2}{2x^2+6x}$
5. $\frac{4x^2-9}{4x^2+9-12x}$
6. $\frac{2x^2+18+12x}{x^2+3x}$

Opgave 4. Afgør om hvert af følgende udsagn er sand eller falsk

1. $\frac{1}{1+x}=\frac{2}{2+x}$
2. $\frac{\frac{1}{b}+1}{1-\frac{a}{b}}=\frac{a+b}{b-a}$
3. $\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{b}{a}+1}=\frac{a}{b}$
4. $\frac{1}{1+x}=1+\frac{1}{x}$

Opgave 5. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Løs ligningerne:

1. $8x+2=26$
2. $-3x-5=4$
3. $-6x+7=-29$
4. $8x+11=5$
5. $-7x+4=-8$

Opgave 2. Løs ligningerne:

1. $3x+7=-2x+2$
2. $-3x-4=-x+3$
3. $3(x-4)+2=2(x+1)$
4. $-2(x-1)+2=3x+2(x-7)$

Opgave 3. Løs ligningerne:

1. $3(x-2)+2=3x-8$
2. $-(x+1)+2x=2(x-1)-(x-1)$
3. $4(x+1)-2x(\frac{1}{x}+1)$

Opgave 4. Løs ligningerne:

1. $\frac{2}{3}(x-\frac{5}{2})=\frac{3}{6}$
2. $\frac{4}{3}(\frac{3}{5}x-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}(x-\frac{2}{5})$
3. $\frac{3}{8}(4x-2)=-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{4})$
4. $\frac{1}{7}(\frac{2}{3}x-\frac{3}{3})-\frac{3}{7}x=-\frac{1}{2}(x-5)$
5. $\sqrt{2}x+4=8$
6. $\pi (x-1)=\sqrt{2}x+3$
7. $\sqrt{2}(2\sqrt{2}x-\sqrt{8})=2x+1$

Opgave 5. Løs ligningerne:

1. $x^2=36$
2. $x^2=-81$
3. $(x-1)(x+2)=0$
4. $x^2+x-1=0$
5. $2x^2+3x+1=0$
6. $x^2+4x+3=0$

Opgave 6. Løs ligningerne:

1. $x^2-3x-1=-2$
2. $-2x^2+3x+1=0$
3. $-3x^2+3x-2=8$
4. $-x^2+4x-2=2$
5. $-2x^2+3x-4=2(x-1)$

Opgave 7. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Udregn følgende tal:

1. $2^5, \quad3^4, \quad 3^3, \quad 4^2$
2. $\log_2 2^5,\quad \log_3 3^4,\quad \log_3 3^4,\quad \log_4 4^{-2}$
3. $\log_2 (256),\quad \log_{10}(1000),\quad \log_2 (\frac{1}{8}),\quad \log_{10}(0.00001)$

Opgave 2. Udregn:

1. $\log (40)+\log(25)$
2. $\log(40)-\log(4)$
3. $\log(2)+\log(30)-\log(6)$
4. $10^{\log(7)},\quad 10^{1+\log(3)}, \quad 10^{2\log{4}}, \quad 10^{-\log{7}}$
5. $\ln(e^{5}), \quad e^{\ln(9)},\quad \ln(e^3)-\ln(e)$

Opgave 3. Løs ligningerne:

1. $\ln (x)=4$
2. $e^x=5$
3. $3 \log(x)=\log(27)$
4. $\ln(2x-4)=\ln(8)+\ln(4)$

Opgave 4. Udregn:

1. $\sin (\frac{\pi}{4}) + \cos (\frac{\pi}{4})$
2. $\tan(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3})$
3. $\frac{\sin (\frac{\pi}{6}) + \cos (\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{4\pi}{6})}$
4. $\frac{\cos (\frac{\pi}{6}) + \sin (\frac{\pi}{2})}{\tan(-\frac{\pi}{3})}$

Opgave 5. Bestem én løsning til ligningerne:

1. $\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\cos(x-\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. $2 \sin^2(x)+5\sin(x)+2=0,$ substituter $u=\sin(x).$ Find først $u$

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Differentier følgende funktioner:

1. $f(x)=3x^7+2x^4-3x^2$
2. $f(x)=2x^5+3x^{\frac{3}{2}}-2x^{-2}$
3. $3 \sqrt{x}+\frac{1}{x}$
4. $3e^{2x}+3^x$

Opgave 2. Brug produkt og kvotient reglen til at bestemme $f'(x)$:

1. $f(x)=3xe^x$
2. $f(x)=2x^2\sin(x)$
3. $f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x-1}$
4. $f(x)=\frac{2x^5-2x^3+1}{x^4-2x}$

Opgave 3. Differentier følgende sammensatte funktioner - Lad være med at reducere udtrykket:

1. $f(x)=\sqrt{x^2+2x-1}$
2. $f(x)=(x^3+2x)^{\frac{3}{2}}$
3. $f(x)=\sin(x^2+1)$
4. $f(x)=\cos ^2 (3x^3+x-1)$
5. $f(x)=\cos ^2 ((x-1)^5)$

Opgave 4. Udregn de ubestemte integraler:

1. $\int x^3+2x^2-1 dx$
2. $\int \sin(x)+e^x dx$
3. $\int \ln(x)+e^x dx$

Opgave 5. Udregn ved substitution de ubestemte integraler:

1. $\int 2x \sin (x^2-1)$
2. $\int (3x^2+2) \cos(x^3+2x+7) dx$
3. $\int x e^{3x+1}dx$
4. $\int (x+1)\sin (x-3)dx$

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Differentier følgende funktioner:

1. $f(x)=3x^7+2x^4-3x^2$
2. $f(x)=2x^5+3x^{\frac{3}{2}}-2x^{-2}$
3. $3 \sqrt{x}+\frac{1}{x}$
4. $3e^{2x}+3^x$
5. $\frac{x^2}{3}-5\sqrt{x}$
6. $e^{3x}+\frac{1}{3}\ln(x)$
7. $7\sqrt{x}-\ln(x)+\frac{1}{x^2}$

Opgave 2.

1. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=x+5$, som opfylder $F(2)=4$
2. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=-\frac{2}{x}, \quad x>0$, som opfylder $F(e)=1$
3. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=4e^{2x}$, som opfylder $F(\frac{1}{2})=e$

Opgave 3. Udregn de ubestemte integraler:

1. $\int x^3+2x^2-1 dx$
2. $\int \frac{2}{x}+e^x dx$
3. $\int \ln(x)+e^x dx$
4. $\int \frac{2}{6\sqrt{x}}+5x^{-3}dx$

Opgave 4. Et $300$ m langt hegn skal indhegne et rektangulært område. Bestem sidelængderne i rektanglet, så arealet bliver størst muligt.

Opgave 5. Et $300$ m langt hegn skal indhegne et rektangulært område. Den ene side ligger ned til en å, så der skal kun bruges hegn på de tre sider. Bestem sidelængderne i rektanglet, så arealet bliver størst muligt.

Opgave 6. En åben kasse skal have kvadratisk bund og et rumfang på $5000 cm^3$. Bestem siden i bunden og kassens højde, så overfladen bliver mindst mulig.

Opgave 7. Et rektangel er indskrevet i en halvcirkel med radius 12 m. Bestem længde og bredde,så rektanglet får så stort et areal som muligt.

Opgave 8. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Undersøg om funktionen $f$ er løsning til den givne differentialligning.

1. $f(x)=\frac{1}{3}x^3-6$ og $y'=x^2$
2. $f(x)=x-1$ og $y'=\frac{y+1}{x}$
3. $f(x)=2 e^{x}$ og $\frac{y'}{y^2}=\frac{1}{2} e^{-x}$
4. $f(x)=x+\frac{1}{x}$ og $xy'=2x-y$
5. $f(x)=4 e^{3x}-e^{2x}$ og $y'-2y=e^{2x}$
6. $f(x)=\ln (e^{x} + e - 1)$ og $y'=e^{x-y}$

Opgave 2. Differentialligningen har en løsning hvis graf går gennem det oplyste punkt. Bestem en ligning for tangenten gennem punktet

1. $y'=\frac{x+2y}{3}$, $(1,3)$
2. $y'=x-y^2$, $(3,5)$
3. $y'=(2x+1)y^2$, $(0,-1)$
4. $y'=3\sqrt{x}\sqrt{y}$, $(4,1)$

Opgave 3. Bestem løsningen til differentialligningen gennem punktet

1. $y'=6y$, og $(\ln (2),100)$
2. $y'-y=0$, og $(\ln (4),28)$
3. $y'=-3y$, og $(3,8)$
4. $y'=0,02y$, og $(0,41000)$
5. $y'=32-8y$, og $(3,10)$
6. $y'=-0,1y+25,4$, og $(0,180)$

Opgave 4. Bestem den fuldstændige eller partikulære løsning til følgende lineære differentialligninger

1. $y'+3x^2y=6x^2$
2. $y'+2xy=0$, $(1,e^{-1})$
3. $xy'+y=\frac{1}{x}$, $(1,4)$

Opgave 5. Bestem konstanterne $a$ og $b$ så funktionen $f(x)=ax+b$ er løsning til differentialligningen $y'-y=2x-3$.

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1: Undersøg om $F(x)$ er stamfunktion til $f(x)$

1. $F(x)=x\ln (x) - x$, $f(x)=\ln (x)$
2. $F(x)=2x\sqrt{x} - x$, $f(x)=3\sqrt{x}-1$

Opgave 2: Find en stamfunktion til hver af nedenstående funktioner

1. $f(x)=4x+5$
2. $f(x)=x^2+2x-9$
3. $f(x)=0$
4. $f(x)=2x-\frac{3}{\sqrt{x}}$

Opgave 3: Bestem følgende ubestemte integraler

1. $\int 4x^3 + \frac{8}{x^2} dx$
2. $\int 7 e^x-e^{7x} dx$
3. $\int e^{2x}+\frac{4}{5\sqrt{x}} dx$

Opgave 4: Bestem stamfunktionen $F(x)$ som opfylder betingelsen

1. $f(x)=3x^3+2x^{-2} \mbox{ , } F(1)=1$
2. $f(x)=-\frac{7}{x}+\sqrt{x} \mbox{ , } F(0)=4$
3. $f(x)=e^x+2e^{-2x} \mbox{ , } F(\ln (2))=1$

Opgave 5: Udregn følgende bestemte integraler

1. $\int _{-3}^{1} x^2 -7x +1 dx$
2. $\int _{1}^{4} x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}} dx$
3. $\int _{0}^{1} e^x dx$

Opgave 6: Beregn arealet af det område der er afgrænset af grafen for funktionen $f(x)=9-x^2$ og førsteaksen.

Opgave 7: Bestem arealet af det område, der er afgrænset af graferne for $$f(x)=\frac{1}{4}x^2 - 2\quad \mbox{ og } \quad g(x)=x+1.$$

Opgave 8: Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.