Math101, 2019 efterår

Introduktion

Har du altid kæmpet med at forstå matematik eller aldrig opnået den fornødne rutine i at udføre basale matematiske manipulationer, så er her muligheden for at gøre noget ved det. Math101 er en aktivitet for dig, som vil gøre en ekstra indsats for at få de basale matematiske færdigheder, som matematikkurserne på første studieår forudsætter, på plads.

Måske er du i tvivl om, hvorvidt kurset er noget for dig. Så kan du her finde en test som du gerne skal være i stand til at gennemføre uden brug af hjælpemidler og stort set uden fejl. Du kan finde en facitliste her. Har du mere end et par fejl, eller tager det dig mere end to timer at gennemføre testen, så bør du, hvis du samtidig er motiveret for at arbejde med dine basale matematiske færdigheder, følge aktiviteten Math101. Har du brug for et testsæt mere kan du finde et her. Det er lidt sværere end det andet og uden facitliste.

Math101 er planlagt således, at både studerende med A-niveau og B-niveau fra gymnasiet kan følge det. Kurset består af 9 kursusgange for alle. I Aalborg afholdes Math101 på dansk, mens det i Esbjerg og København afholdes på engelsk. En del af kursusmaterialet, der benyttes i Aalborg, vil dog også være på engelsk.

Kursusmateriale

I Aalborg findes kursusmaterialet på den tilhørende Moodle-side.

Tilmelding

For at tilmelde sig kurset, skal man blot skrive til math101_tilmelding@staff.aau.dk.

Supplerende materiale

Herunder finder du supplerende materiale grupperet efter emne.

Emne

Khan Academy

Khan Academy opgaver

Webmatematik

Definition af differentialkvotient calculus-derivatives-1-new-hd-version
derivative-intuition-module
derivative_intuition differenskvotient-og-differentialkvotient
Differentiation af forskellige funktioner og regneregler for differentiation power-rule
derivative-properties-and-polynomial-derivatives
derivatives-of-sin-x-cos-x-tan-x-e-x-and-ln-x
power_rule
special_derivatives
afledede-funktioner
regneregler-for-differentialkvotienter
differentiation-af-trigonometriske-funktioner
Differentiation af sammensatte funktioner chain-rule-introduction
chain-rule-definition-and-example
chain-rule-for-derivative-of-2-x
chain-rule-with-triple-composition
chain_rule_1
chain-rule-on-three-functions
differentiation-af-sammensat-funktion
Differentiation af produkt og kvotient applying-the-product-rule-for-derivatives
product-rule-for-more-than-two-functions
quotient-rule-from-product-rule
product_rule
quotient_rule
Areal area-between-a-curve-and-an-axis bestemt-integral-og-areal
areal-mellem-to-grafer
Optimering minimizing-sum-of-squares
minimizing-the-cost-of-a-storage-container
optimization optimering
Integrationsregler antiderivatives-and-indefinite-integrals
indefinite-integrals-of-x-raised-to-a-power
antiderivative-of-hairier-expression
basic-trig-and-exponential-antiderivatives
antiderivatives
indefinite-integrals
Integration ved substitution u-substitution
u-substitution-and-back-substitution
integration-by-the-reverse-chain-rule
integration-by-u-substitution
integration-ved-substitution

Supplerende opgaver

Herunder finder du supplerende opgaver grupperet efter emne.

Opgave 1. Udregn følgende tal:
  1. $3 \cdot 2 - \frac{15}{3}+\frac{8}{4}-4$
  2. $-6^2$
  3. $(-6)^2$
  4. $3 \cdot (5-7)-2+3 \cdot 4-3 \cdot (6-9)$
Opgave 2. Udregn følgende tal:
  1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{3}$
  2. $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{8}$
  3. $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}$
  4. $\frac{3}{4}-\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4}$
  5. $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$
  6. $6 \cdot \frac{2}{5}$
  7. $6 : \frac{2}{5}$
  8. $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}-\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$
  9. $\frac{1}{4} +2 \cdot \frac{4}{16}$
Opgave 3. Udregn følgende tal:
  1. $(\sqrt{4})^2$
  2. $(\sqrt{2})^2$
  3. $(-\sqrt{2})^2$
  4. $(\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$
  5. $3\sqrt{8}+\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})$
  6. $\frac{2\sqrt{14}+4\sqrt{63}}{\sqrt{2((2\sqrt{2})^2+10}}$
Opgave 4. Omskriv til potenser med grundtal 2 og 3:
  1. $3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-3}$
  2. $\frac{3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-4}}{3^3 \cdot 3^{-6}}$
  3. $\frac{(\frac{3}{4})^3 \cdot 2^4 \cdot (3^{-2})^3}{3^{-3} \cdot 2^{10}}$
  4. $3^4 \cdot 6^2 \cdot 12^3 \cdot 6^4$
  5. $\frac{2^3 \cdot 6^3 \cdot 12^3 \cdot 3^{-8}}{4^2 \cdot 9^3}$

Opgave 5. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Reducer følgende udtryk:
  1. $3x+5y-2xy+7x-2xy+2y$
  2. $3x^2+3x+4y-3x+2y+y^2$
  3. $2x^2+3xy-yx+x^2$
  4. $3x(x-1)-2(1+x^2)$
  5. $(2+x)(x-1)-4(x-1)$
  6. $x(2x-1)-(3x-2)(x-1)$
  7. $(x-1)(1-\frac{1}{x})+2(1-\frac{x}{2})$
Opgave 2. Udregn følgende udtryk og reducer
  1. $(x+3)^2$
  2. $(4x-5)^2$
  3. $(a-2)^2-a(a-1)$
  4. $(s-1)(s+1)+1$
  5. $(x+\sqrt{3})^2-\sqrt{3}(x+2\sqrt{3})$
  6. $(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})-\sqrt{6}(x-\sqrt{24})$
Opgave 3. Reducer følgende brøker
  1. $\frac{9a^2b^5}{3(ab)^3}$
  2. $\frac{6a^3b^{-4}}{(2a^2b)^2}$
  3. $\frac{2x^{-4}y^3}{(2y^2x)^{-2}}$
  4. $\frac{(x+3)^2}{2x^2+6x}$
  5. $\frac{4x^2-9}{4x^2+9-12x}$
  6. $\frac{2x^2+18+12x}{x^2+3x}$
Opgave 4. Afgør om hvert af følgende udsagn er sand eller falsk
  1. $\frac{1}{1+x}=\frac{2}{2+x}$
  2. $\frac{\frac{1}{b}+1}{1-\frac{a}{b}}=\frac{a+b}{b-a}$
  3. $\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{b}{a}+1}=\frac{a}{b}$
  4. $\frac{1}{1+x}=1+\frac{1}{x}$

Opgave 5. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Løs ligningerne:
  1. $8x+2=26$
  2. $-3x-5=4$
  3. $-6x+7=-29$
  4. $8x+11=5$
  5. $-7x+4=-8$
Opgave 2. Løs ligningerne:
  1. $3x+7=-2x+2$
  2. $-3x-4=-x+3$
  3. $3(x-4)+2=2(x+1)$
  4. $-2(x-1)+2=3x+2(x-7)$
Opgave 3. Løs ligningerne:
  1. $3(x-2)+2=3x-8$
  2. $-(x+1)+2x=2(x-1)-(x-1)$
  3. $4(x+1)=2x(\frac{1}{x}+1)$
Opgave 4. Løs ligningerne:
  1. $\frac{2}{3}(x-\frac{5}{2})=\frac{3}{6}$
  2. $\frac{4}{3}(\frac{3}{5}x-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}(x-\frac{2}{5})$
  3. $\frac{3}{8}(4x-2)=-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{4})$
  4. $\frac{1}{7}(\frac{2}{3}x-\frac{3}{3})-\frac{3}{7}x=-\frac{1}{2}(x-5)$
  5. $\sqrt{2}x+4=8$
  6. $\pi (x-1)=\sqrt{2}x+3$
  7. $\sqrt{2}(2\sqrt{2}x-\sqrt{8})=2x+1$
Opgave 5. Løs ligningerne:
  1. $x^2=36$
  2. $x^2=-81$
  3. $(x-1)(x+2)=0$
  4. $x^2+x-1=0$
  5. $2x^2+3x+1=0$
  6. $x^2+4x+3=0$
Opgave 6. Løs ligningerne:
  1. $x^2-3x-1=-2$
  2. $-2x^2+3x+1=0$
  3. $-3x^2+3x-2=8$
  4. $-x^2+4x-2=2$
  5. $-2x^2+3x-4=2(x-1)$

Opgave 7. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Udregn følgende tal:
  1. $2^5, \quad3^4, \quad 3^3, \quad 4^2$
  2. $\log_2 2^5,\quad \log_3 3^4,\quad \log_3 3^4,\quad \log_4 4^{-2}$
  3. $\log_2 (256),\quad \log_{10}(1000),\quad \log_2 (\frac{1}{8}),\quad \log_{10}(0.00001)$
Opgave 2. Udregn:
  1. $\log (40)+\log(25)$
  2. $\log(40)-\log(4)$
  3. $\log(2)+\log(30)-\log(6)$
  4. $10^{\log(7)},\quad 10^{1+\log(3)}, \quad 10^{2\log{4}}, \quad 10^{-\log{7}}$
  5. $\ln(e^{5}), \quad e^{\ln(9)},\quad \ln(e^3)-\ln(e)$
Opgave 3. Løs ligningerne:
  1. $\ln (x)=4$
  2. $e^x=5$
  3. $3 \log(x)=\log(27)$
  4. $\ln(2x-4)=\ln(8)+\ln(4)$
Opgave 4. Udregn:
  1. $\sin (\frac{\pi}{4}) + \cos (\frac{\pi}{4})$
  2. $\tan(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3})$
  3. $\frac{\sin (\frac{\pi}{6}) + \cos (\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{4\pi}{6})}$
  4. $\frac{\cos (\frac{\pi}{6}) + \sin (\frac{\pi}{2})}{\tan(-\frac{\pi}{3})}$
Opgave 5. Bestem én løsning til ligningerne:
  1. $\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $\cos(x-\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
  3. $2 \sin^2(x)+5\sin(x)+2=0,$ substituter $u=\sin(x).$ Find først $u$

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Differentier følgende funktioner:
  1. $f(x)=3x^7+2x^4-3x^2$
  2. $f(x)=2x^5+3x^{\frac{3}{2}}-2x^{-2}$
  3. $3 \sqrt{x}+\frac{1}{x}$
  4. $3e^{2x}+3^x$
Opgave 2. Brug produkt og kvotient reglen til at bestemme $f'(x)$:
  1. $f(x)=3xe^x$
  2. $f(x)=2x^2\sin(x)$
  3. $f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x-1}$
  4. $f(x)=\frac{2x^5-2x^3+1}{x^4-2x}$
Opgave 3. Differentier følgende sammensatte funktioner - Lad være med at reducere udtrykket:
  1. $f(x)=\sqrt{x^2+2x-1}$
  2. $f(x)=(x^3+2x)^{\frac{3}{2}}$
  3. $f(x)=\sin(x^2+1)$
  4. $f(x)=\cos ^2 (3x^3+x-1)$
  5. $f(x)=\cos ^2 ((x-1)^5)$
Opgave 4. Udregn de ubestemte integraler:
  1. $\int x^3+2x^2-1 dx$
  2. $\int \sin(x)+e^x dx$
  3. $\int \ln(x)+e^x dx$
Opgave 5. Udregn ved substitution de ubestemte integraler:
  1. $\int 2x \sin (x^2-1)$
  2. $\int (3x^2+2) \cos(x^3+2x+7) dx$
  3. $\int x e^{3x+1}dx$
  4. $\int (x+1)\sin (x-3)dx$

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Differentier følgende funktioner:
  1. $f(x)=3x^7+2x^4-3x^2$
  2. $f(x)=2x^5+3x^{\frac{3}{2}}-2x^{-2}$
  3. $3 \sqrt{x}+\frac{1}{x}$
  4. $3e^{2x}+3^x$
  5. $\frac{x^2}{3}-5\sqrt{x}$
  6. $e^{3x}+\frac{1}{3}\ln(x)$
  7. $7\sqrt{x}-\ln(x)+\frac{1}{x^2}$
Opgave 2.
  1. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=x+5$, som opfylder $F(2)=4$
  2. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=-\frac{2}{x}, \quad x>0$, som opfylder $F(e)=1$
  3. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=4e^{2x}$, som opfylder $F(\frac{1}{2})=e$
Opgave 3. Udregn de ubestemte integraler:
  1. $\int x^3+2x^2-1 dx$
  2. $\int \frac{2}{x}+e^x dx$
  3. $\int \ln(x)+e^x dx$
  4. $\int \frac{2}{6\sqrt{x}}+5x^{-3}dx$

Opgave 4. Et $300$ m langt hegn skal indhegne et rektangulært område. Bestem sidelængderne i rektanglet, så arealet bliver størst muligt.

Opgave 5. Et $300$ m langt hegn skal indhegne et rektangulært område. Den ene side ligger ned til en å, så der skal kun bruges hegn på de tre sider. Bestem sidelængderne i rektanglet, så arealet bliver størst muligt.

Opgave 6. En åben kasse skal have kvadratisk bund og et rumfang på $5000 cm^3$. Bestem siden i bunden og kassens højde, så overfladen bliver mindst mulig.

Opgave 7. Et rektangel er indskrevet i en halvcirkel med radius 12 m. Bestem længde og bredde,så rektanglet får så stort et areal som muligt.

Opgave 8. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Undersøg om funktionen $f$ er løsning til den givne differentialligning.
  1. $f(x)=\frac{1}{3}x^3-6$ og $y'=x^2$
  2. $f(x)=x-1$ og $y'=\frac{y+1}{x}$
  3. $f(x)=2 e^{x}$ og $\frac{y'}{y^2}=\frac{1}{2} e^{-x}$
  4. $f(x)=x+\frac{1}{x}$ og $xy'=2x-y$
  5. $f(x)=4 e^{3x}-e^{2x}$ og $y'-2y=e^{2x}$
  6. $f(x)=\ln (e^{x} + e - 1)$ og $y'=e^{x-y}$
Opgave 2. Differentialligningen har en løsning hvis graf går gennem det oplyste punkt. Bestem en ligning for tangenten gennem punktet
  1. $y'=\frac{x+2y}{3}$, $(1,3)$
  2. $y'=x-y^2$, $(3,5)$
  3. $y'=(2x+1)y^2$, $(0,-1)$
  4. $y'=3\sqrt{x}\sqrt{y}$, $(4,1)$
Opgave 3. Bestem løsningen til differentialligningen gennem punktet
  1. $y'=6y$, og $(\ln (2),100)$
  2. $y'-y=0$, og $(\ln (4),28)$
  3. $y'=-3y$, og $(3,8)$
  4. $y'=0,02y$, og $(0,41000)$
  5. $y'=32-8y$, og $(3,10)$
  6. $y'=-0,1y+25,4$, og $(0,180)$
Opgave 4. Bestem den fuldstændige eller partikulære løsning til følgende lineære differentialligninger
  1. $y'+3x^2y=6x^2$
  2. $y'+2xy=0$, $(1,e^{-1})$
  3. $xy'+y=\frac{1}{x}$, $(1,4)$

Opgave 5. Bestem konstanterne $a$ og $b$ så funktionen $f(x)=ax+b$ er løsning til differentialligningen $y'-y=2x-3$.

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1: Undersøg om $F(x)$ er stamfunktion til $f(x)$
  1. $F(x)=x\ln (x) - x$, $f(x)=\ln (x)$
  2. $F(x)=2x\sqrt{x} - x$, $f(x)=3\sqrt{x}-1$
Opgave 2: Find en stamfunktion til hver af nedenstående funktioner
  1. $f(x)=4x+5$
  2. $f(x)=x^2+2x-9$
  3. $f(x)=0$
  4. $f(x)=2x-\frac{3}{\sqrt{x}}$
Opgave 3: Bestem følgende ubestemte integraler
  1. $\int 4x^3 + \frac{8}{x^2} dx$
  2. $\int 7 e^x-e^{7x} dx$
  3. $\int e^{2x}+\frac{4}{5\sqrt{x}} dx$
Opgave 4: Bestem stamfunktionen $F(x)$ som opfylder betingelsen
  1. $f(x)=3x^3+2x^{-2} \mbox{ , } F(1)=1$
  2. $f(x)=-\frac{7}{x}+\sqrt{x} \mbox{ , } F(0)=4$
  3. $f(x)=e^x+2e^{-2x} \mbox{ , } F(\ln (2))=1$
Opgave 5: Udregn følgende bestemte integraler
  1. $\int _{-3}^{1} x^2 -7x +1 dx$
  2. $\int _{1}^{4} x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}} dx$
  3. $\int _{0}^{1} e^x dx$

Opgave 6: Beregn arealet af det område der er afgrænset af grafen for funktionen $f(x)=9-x^2$ og førsteaksen.

Opgave 7: Bestem arealet af det område, der er afgrænset af graferne for $$f(x)=\frac{1}{4}x^2 - 2\quad \mbox{ og } \quad g(x)=x+1.$$

Opgave 8: Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.