%% Harmonisk Oscillator
% 
% Vi betragter massen m fastgjort til en fjeder, der påvirker massen via
% Hooke's lov: F[spring] := -k y.
% Ifølge Newtons anden lov: my''=-ky. Lad nu m=2, k=1

syms y(x)
Dy = diff(y);

f = dsolve( diff(y,2) + 1/2*y == 0, y(0) == 1, Dy(0) == 0)

ezplot( f, [0, 25] );

%% Dæmpning
% 
% Vi indfører nu dæmpning (gnidningsmodstand): F_{friction} := -b*y'.
% Lad os først antage, at b := 0.2
% Bemærk: Gnidningsmodstand dæmper svingningen.
 
f = dsolve( diff(y,2) + + 1/5*diff(y) + 1/2*y == 0, y(0) == 1, Dy(0) == 0)

ezplot( f, [0, 45] );

%% Kritisk dæmpning: D = b^2 - 4*a*c

f = dsolve( diff(y,2) + sqrt(2)*diff(y) + 1/2*y == 0, y(0) == 1, Dy(0) == 0)

ezplot( f, [0, 45] );

%% Ekstern kraft
% 
% Vi tilføjer nu en ekstern (drivende) kraft: F_{ext} := F(x). lad os
% betragte det dæmpede tilfælde igen.
% Bemærk: Indsvingning plus efterfølgende stabil harmonisk bevægelse.

f = dsolve( diff(y,2) + 1/5*diff(y) + 172*y == cos(2*x), y(0) == 1, Dy(0) == 0)

ezplot( f, [0, 65] );