Geometrisk fortolkning af den retningsafldedede

Som eksempel tager vi udgangspunkt i funktionen

NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJCklInhHIiIlIiIiISIiKiQpJSJ5RyIiIyIiIiEiIg==

Vi \357\277\275nsker at visualisere den retningsafledede til funktionen i punktet NiMtJSJQRzYlIiIiIiIiLCQiIiMhIiI= i retningen (NiQqJiIiIkYkLSUlc3FydEc2IyIiIyEiIkYj)

Vi tegner f\357\277\275rst grafen for funktionen:

restart;

with(plots):

f:=(x,y)->-x^4-y^2;

p:=plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=frame,style=patchnogrid):%;

Vi betragter sk\357\277\275ringen mellem grafen og planen x=y, der indeholder punktet (1,1,0) og "g\357\277\275r i retningen " (NiQqJiIiIkYkLSUlc3FydEc2IyIiIyEiIkYj).

plan:=implicitplot3d(y=x,x=-5..5,y=-5..5,z=-100..10,color=blue):

display({p,plan});

En parameterfremstilling for sk\357\277\275ringskurven er givet ved:(NiUqJiUieEciIiItJSVzcXJ0RzYjIiIjISIiRiMtJSJmRzYkRiNGIw== ):

p1:=spacecurve([x/sqrt(2),x/sqrt(2),f(x/sqrt(2),x/sqrt(2))],x=-4..4,color=blue,axes=frame,thickness=4):display({p,p1});

Vi finder nu tangentlinjen til sk\357\277\275ringskurven i punktet (1,1,-2). Lader vi g(x)=f(x/sqrt(2),x/sqrt(2))=NiMsJiomKSUieEciIiUiIiIiIiUhIiIhIiIqJiklInhHIiIjIiIiIiIjISIiISIi , s\357\277\275 har tangentlinjen h\357\277\275ldningen g'(sqrt(2)).

Det ses let at

g'(x)=NiMsJiokKSUieEciIiQiIiIhIiIlInhHISIi

s\357\277\275 g'(NiMtJSVzcXJ0RzYjIiIj)=NiMsJComIiIkIiIiLSUlc3FydEc2IyIiIyIiIiEiIg==

Tangentlinjen er derfor givet ved: NiMsJjclIiIiIiIiLCQiIiMhIiIiIiIqJiUidEciIiI3JSomIiIiIiIiLSUlc3FydEc2IyIiIyEiIiomIiIiIiIiLSUlc3FydEc2IyIiIyEiIiwkKiYiIiQiIiItJSVzcXJ0RzYjIiIjIiIiISIiIiIiIiIi

tangent:=spacecurve([1+t/sqrt(2),1+t/sqrt(2),-2-3*t*sqrt(2)],t=-3..3,thickness=4,color=red):

display({p,p1,tangent});

display({p1,tangent});

Vi bem\357\277\275rker, at den retningsafledede er givet ved:

NiMvLSYlI0RfRzYjNyQqJiIiIiIiIi0lJXNxcnRHNiMiIiMhIiIqJiIiIiIiIi0lJXNxcnRHNiMiIiMhIiI2JCIiIiIiIjYkLCQiIiUhIiIsJCIiIyEiIg==.(NiQqJiIiIkYkLSUlc3FydEc2IyIiIyEiIkYj)=-NiMqJiIiJCIiIi0lJXNxcnRHNiMiIiMiIiI=

Det stemmer overens med h\357\277\275ldningen for tangenten til sk\357\277\275ringskurven.

Eksempel 2.

Vi ser p\357\277\275 funktionen

NiMvLSUiRkc2JSUieEclInlHJSJ6RywqIiImIiIiKiYiIiMiIiIqJCklInhHIiIjIiIiIiIiISIiKiQpJSJ5RyIiIyIiIiEiIiUiekchIiI=

Funktionen har gradientvektor:

NiM3JSwkKiYiIiUiIiIlInhHIiIiISIiLCQqJiIiIyIiIiUieUciIiIhIiIsJCIiIiEiIg==

I punktet (0,1,4):

NiM3JSIiISwkIiIjISIiLCQiIiIhIiI=

Det giver tangentplanen:

NiMvLCgqJiIiISIiIiwmJSJ4RyIiIiIiIiEiIiIiIiIiIiomIiIjIiIiLCYlInlHIiIiIiIiISIiIiIiISIiLCYlInpHIiIiIiIjISIiISIiIiIh

i punktet P(0,1,4). Las os visualisere det grafisk:

a:=plot3d(5-2*x^2-y^2,x=-1..1,y=0..1.5):a4 := arrow(<0,1,4>,<0,2,1>):

b:=plot3d(4-2*(y-1),x=-1..1,y=0..1.5,color=blue):

display({a,b,a4},axes=frame,scaling=CONSTRAINED);

Et mere kompliceret eksempel

NiM+LSUiRkc2JSUieEclInlHJSJ6RywsKiQpJSJ4RyIiJCIiIiIiIiokKSUieUciIiQiIiIiIiIqJCklInpHIiIkIiIiIiIiIiIiIiIiKiQpLColInhHIiIiJSJ5RyIiIiUiekciIiIiIiIiIiIiIiQiIiIhIiI==0

pl1:=implicitplot3d(x^3+y^3+z^3+1=(x+y+z+1)^3, x=-2..2, y=-2..2, z=-2..2, grid=[25,25,25]):display(pl1);

F:=x^3+y^3+z^3+1-(x+y+z+1)^3;

linalg[grad](F, vector([x,y,z]));

subs(x=0,y=0,z=0,%);

subs(x=0,y=-1,z=0,%%);

display(pl1,arrow(<3,3,3>,color=blue,shape=cylindrical_arrow),arrow(<0,-1,0>,<0,-3,0>,color=red,shape=cylindrical_arrow),scaling=CONSTRAINED);