Partielle afledede. x-kurver, y-kurver, og tangentplanen til z=f(x,y). Som eksempel tager vi udgangspunkt i funktionen NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJCklInhHIiIkIiIiIiIiKiQpJSJ5RyIiJCIiIiIiIg== Vi \357\277\275nsker at konstruere tangentplanen til funktionen i punktet NiMtJSJQRzYlLCQiIiMhIiIiIiMiIiE=. Vi tegner f\357\277\275rst grafen for funktionen: restart; with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

f:=(x,y)->x^3+y^3;

NiM+JSJmR2YqNiQlInhHJSJ5RzYiNiQlKW9wZXJhdG9yRyUmYXJyb3dHNiIsJiokKSUieEciIiQiIiIiIiIqJCklInlHIiIkIiIiIiIiNiI2IjYi

p1:=plot3d(f(x,y),x=-5..5,y=-5..5,axes=frame,style=patchnogrid):%;

Vi betragter x-kurven: x-kurven h\357\277\275rende til y=2 er givet ved sk\357\277\275ringen mellem grafen for f og planen y=2: yplan:=implicitplot3d(y=2,x=-5..5,y=-5..5,z=-200..200,color=blue): display({p1,yplan});

En parameterfremstilling for sk\357\277\275ringskurven er givet ved: (x,2,f(x,2)): p2:=spacecurve([x,2,f(x,2)],x=-5..5,color=blue,axes=frame,thickness=3):display({p1,p2});

y-kurven h\357\277\275rende til x=-2 er givet some sk\357\277\275ringen mellem grafen for f og planen x=-2: xplan:=implicitplot3d(x=-2,x=-5..5,y=-5..5,z=-200..200,color=blue): display({p1,xplan});

Parameterfremstillingen for y-kurven h\357\277\275rende til x=-2 er givet ved (-2,y,f(-2,y)). p3:=spacecurve([-2,y,f(-2,y)],y=-5..5,color=black,axes=frame,thickness=3): Vi ser nu p\357\277\275 grafen for z=f(x,y) sammen med plottet for x-kurven og y-kurven. Vi har Bl\357\277\275 kurve: x-kurve h\357\277\275rende til y=2. Sort kurve: y-kurve h\357\277\275rende til x=-2. display({p1,p2,p3});

Vi finder nu tangentlinjen til x-kurven for y=2 i punktet (-2,2,0). Lader vi g(x)=f(x,2) s\357\277\275 har tangentlinjen h\357\277\275ldningen g'(-2). Det ses let at g'(x)=NiMqJiIiJCIiIiokKSUieEciIiMiIiIiIiI= s\357\277\275 g'(-2)=12. Tangentlinjen er derfor givet ved: (-2,2,0)+t(1,0,12). xtangent:=spacecurve([-2+t,2,12*t],t=-5..7,thickness=2,color=green): display({p1,p2,p3,xtangent});

Tilsvarende finder vi tangentlinjen h\357\277\275rende til y-kurven for x=-2: (-2,2,0)+t(0,1,12). ytangent:=spacecurve([-2,2+t,12*t],t=-5..7,thickness=2,color=green): display({p1,p2,p3,xtangent,ytangent});

display({p2,p3,xtangent,ytangent});

Tangentplanen for z=f(x,y) i (-2,2,0) er s\357\277\275 per definition givet som planen, der udsp\357\277\275ndes af de to tangentlinjer. Lad os se om det stemmer med formlen for tangentplanen. Jvf. formlen er tangentplanen givet ved: NiMvJSJ6RywmLSIjNzYjLCYlInhHIiIiIiIjIiIiIiIiLSIjNzYjLCYlInlHIiIiIiIjISIiIiIi tangentpl:=plot3d(12*(x+2)+12*(y-2),x=-5..7,y=-5..7,color=blue): display({tangentpl,xtangent,ytangent},axes=frame);

display({p1,tangentpl,xtangent,ytangent});

Eksempel 2. Vi har set at funktionen NiMvJSJ6RywoIiImIiIiKiYiIiMiIiIqJCklInhHIiIjIiIiIiIiISIiKiQpJSJ5RyIiIyIiIiEiIg== har tangentplanen NiMvLCYlInpHIiIiIiIjISIiLCYqJiIiJSIiIiwmJSJ4RyIiIiIiIiEiIiIiIiEiIiomIiIjIiIiLCYlInlHIiIiIiIiISIiIiIiISIi i punktet P(1,1,2). Las os visualisere det grafisk: a:=plot3d(5-2*x^2-y^2,x=-1..4,y=-1..4): b:=plot3d(2-4*(x-1)-2*(y-1),x=-1..4,y=-1..4,color=blue): display({a,b},axes=frame);