Husk at der jævnligt afholdes matematik-cafe (hvis der er tilmelding per email som beskrevet her), hvor man har mulighed for at få hjælp til at regne opgaver. Næste gang er:
Dette kursus bygger i høj grad videre på pensummet i gymnasiet. Det er derfor vigtigt at have godt styr på dette stof. Hvis I har brug for at få det repeteret, kan Rob Ghrists Coursera-kursus 'Calculus 1 variabel' være en god hjælp suppleret med at regne gamle opgaver fra gymnasiet (se forslag til hvilke under 'Genopfriskningsopgaver').
I Calculus-kurset bruger vi et SAMPAK AF TO BØGER. Nemlig:
Ovenstående SAMPAK har ISBN-nummer 9781784499075 og kan købes i boghandelen (tidligere var det ISBN-nummer 1-783-99028-7). Compilation af Morten Nielsen kan IKKE købes løs.
Herforuden benyttes følgende materiale:
Calculus gennemføres i efterårssemestret og har et omfang på 22 lektioner (5 ECTS). Af disse 22 skemalagte lektioner er der lærerdækning på de 18 og de resterende 4 lektioner er selvstudie på gruppebasis dog med hjælpelærerdækning. Bemærk, at materialet fra disse 4 selvstudiegange også indgår i pensum. Evalueringsformen er en 4 timers digital, skriftlig prøve (uden brug af elektroniske hjælpemidler). Der gives karakter efter 7-trinsskalaen.
Se også fanen Eksamensinformation.
Der stilles skriftlige opgaver i kurset. Findes éns studie på listen herunder, er det en forudsætning for deltagelse i eksamen, at man får godkendt mindst 10 ud af 18 afleveringer. Opgaverne er af et omfang, som svarer til at en besvarelse ca. fylder en håndskrevet A4-side.
Er studiet ikke på listen, kan man stadig aflevere skriftlige opgaver og få dem rettet.
Afleveringsopgaverne til hver kursusgang findes under Opgaver .
Nedenfor ses forslag til opgaver til de ordinære kursusgange. I det omfang jeres underviser udarbejder spisesedler, da er det dem, I skal følge. Generelt har hver enkelt studerende ansvar for at få nok rutine. For nogle kræver det mange opgaver, for andre få. Der er ofte ganske mange opgaver til hver kursusgang, så det anbefales at man begynder med de prioriterede opgaver, der er markeret med fed. Færdigheder fra en kursusgang indgår ofte som en del af færdigheder næste kursusgang. Så det er meget vigtigt, at der hurtigt opnås rutine, så man ikke 7. forelæsning skal bruge tid på at øve sig i det, der hører til 1. forelæsning. Forståelsesopgaver er vigtige. Forståelse testes i øvrigt til eksamen med multiple choice-opgaver.
Plan for Calculus.
Litteratur:
E&P - Edwards and Penney: Calculus - Early Transcendentals. 7th edition. Prentice Hall.
MN - An Introduction to Complex Numbers and Differential Equations", Second Edition, Compiled by Morten Nielsen, Pearson.
Materiale: Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i
E&P.
Forelæsning: Introduktion til Calculus. Derefter gennemgang af Appendix C, A13-A17, og Section 6.8 i E&P.
Opgaver:
Appendix C, A13-A17:
Omregning mellem vinkelmål: 1, 3, 5, 7, 9.
Periodiske egenskaber ved trig. funktioner: 15, 20.
Trigonometriske identiteter: 26
Evaluering af trigonometriske funktioner: 29, 33
Additionsformler: 37
Trigonometriske ligninger: 43, 47.
Section 6.8, side 496-498 i E&P.
True/false study guide, 1-8.
Differentiation af inv. trig. funktioner: 5, 6, 17.
Integration af inv. trig. funktioner: 31, 35.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 9.2 E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 9.2 E&P.
Emnet er polære koordinater.
Tilhørende pencasts:
polaere_koordinater-1-2.pdf,
polaere_koordinater-2-2.pdf
Opgaver:
Section 9.2 true/false study guide, s. 670.
Section 9.2:
Omregning mellem polære og retvinklede koordinater: 1(a)(b)(c)(f),
2(a)(e)(f).
Konvertering af ligninger fra retv. til polære koord.: 3, 6,
7.
Konvertering af ligninger fra polære til retv. koord.: 11, 13,
17.
Bestemmelse af en kurves ligning i polære koord.: 21, 27.
Ekstra opgaver fra 9.2: 29, 31, 39, 41, 53, 63.
Section 6.8, side 496-498 i E&P.
Resterende opgaver fra 1. kursusgang.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 11.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.5 E&P.
Emnet er parametrisk beskrivelse af kurver i rummet. I den
forbindelse kan man berøre dele af Section 9.4 vedrørende plane
kurver.
Tilhørende pencasts: parametriserede_kurver.pdf
Opgaver:
Parametriske kurver: 1,9.
Bestemmelse af hastighed- og accelerationsvektor: 13, 15.
Integration af parametriske kurver: 17.
Regneregler for differentiation af vektorfunktioner: 21, 23.
Hastighed, fart og acceleration af partikel: 35.
Projektilbaner: 43, 45. Man kan bruge, at 1 mile cirka er lig
1609.344 meter, og at tyngdeaccelerationen er cirka 9.80665 m / s2.
Dernæst: opgaver fra tidligere.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 11.6 (til s. 869 midt) i
E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 11.6 (til s.
869 midt) i E&P. Emnerne er buelængde og krumning for plane
kurver.
Tilhørende pencasts: krumning_af_plan_kurve.pdf
Opgaver:
Section 11.6:
Beregning af kurvelængde: 1, 3, 5.
Beregning af krumning: 7, 9 ,10, 11.
Bestemmelse af tidspunktet for den maksimale krumning: 15,
16.
Bestemmelse af tangent- og enhedsnormalvektoren: 17, 19.
Bestemmelse af krumningscirclen: 29.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 12.1, 12.2 og evt. noget af
12.3 i E&P.
Forelæsning: Introduktion til teorien for
funktioner af flere variable. Gennemgang af afsnittene 12.1, 12.2
og evt. noget af 12.3 i E&P.
Opgaver:
Section 12.2, True/false study guide, s. 907.
Section 12.2:
Bestemmelse af definitionsmængde: 1, 3, 5, 7, 8.
Beskriv grafen for en given funktion: 22, 25, 29.
Beskriv niveaukurver for en given funktion: 41, 44.
Match graf og niveaukurver: 53, 54, 55, 56, 57,
58.
Section 12.3:
Grænseværdier og kontinuitet: 1,5.
Undersøg om grænseværdi eksisterer: 21, 43.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 12.4 i E&P
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.4 i
E&P. Emnet er partielle afledede.
Tilhørende pencasts: partielle_afledede.pdf,
tangentplan.pdf
Opgaver:
Section 12.4, side 927-931 i E&P. True/false study guide.
Beregning af partielle afledede: 1, 3, 5,
15.
Blandede partielle afledede og relationen zxy
= zyx: 21,
25.
Bestemmelse af tangentplan: 31, 38.
Eksistens af funktioner med givne partielle afledede: 41,
43.
Indsæt funktion i partiel differentialligning: 55, 58 (brug gerne
Maple).
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 12.5 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.5 i
E&P. Emnerne er optimering.
Tilhørende pencasts: optimering-1-2.pdf,
optimering-2-2.pdf
Opgaver:
Section 12.5, True/false study guide, s. 939.
Section 12.5:
Find vandret tangentplan: 3, 5, 9.
Find det "højeste" eller "laveste" punkt på en flade: 13.
Find maks og min for en given function: 23, 25, 27.
Minimer materialeomkostninger: 41, 47 ("girth"=korteste
omkreds).
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 12.7 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.7 i
E&P. Emnet er kædereglen.
Tilhørende pencasts: kaedereglen_1-2.pdf,
kaedereglen_2-2.pdf,
implicit_differentiation.pdf
Opgaver:
Section 12.7 true/false study guide, s. 959.
Section 12.7:
Benyt kædereglen til at udregne partielle afledede: 1, 3.
Nedskriv kædereglen i given situation: 13.
Implicit differentiation: 19, 21, 23.
Kædereglen og partielle differentialligninger: 40, 43.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 12.8 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 12.8 i
E&P. Emnerne er den retningsafledede og gradientvektoren.
Tilhørende pencasts: gradientvektor_og_ligning_for_tangentplan.pdf,
retningsafledede.pdf
Opgaver:
Section 12.8 true/false study guide, s. 970.
Section 12.8, s. 971.
Bestem gradientvektoren: 3, 5.
Find den retningsafledede: 11, 15.
Find den maksimale retningsafledede: 21, 23.
Find tangentline/plan til kurve/flade: 29, 31, 33.
Find tangentlinjen til keglesnit: 41.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 13.1 og noget af 13.2 i
E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.1 og noget
af 13.2 i E&P. Emnet er integration af funktioner af to
variable.
Tilhørende pencasts:
dobbeltintegral_rektangel.pdf
Opgaver:
Section 13.1 true/false study guide, s. 1003.
Section 13.1:
Evaluer itererede integraler: 11, 13, 15,
17, 19, 21, 25, 27, 29, 31. Riemann sum: 37.
Gamle opgaver fra 12.8 ( 21, 23, 29, 31).
Afleveringsopgaver:
Materiale: Resten af section 13.2 og section
13.3 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af resten af section 13.2
og section 13.3 i E&P. Emnerne er integration af funktioner af
to variable, samt anvendelse til beregning af areal og volumen.
Tilhørende pencasts: dobbeltintegral_simpelt_omraade.pdf,
dobbeltintegral_trekant.pdf
Opgaver: Section 13.3 true/false study guide, s. 1017.
Section 13.2:
Evaluer itererede integraler: 3, 7 13.
Evaluer planintegralet over givet område: 19.
Skift integrationsrækkefølge i dobbeltintegrale: 31, 33.
Section 13.3:
Arealbestemmelse ved planintegrale: 3, 5, 9.
Find volume af legeme afgrænset af flader: 11, 15.
Find volume af legeme afgrænset af (mere komplicerede) flader: 31,
42.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 13.4 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.4 i
E&P. Emnet er dobbeltintegraler i polære koordinater.
Tilhørende pencasts: integration_over_polaert_rektangel-1-2.pdf,
integration_over_polaert_rektangel-2-2.pdf,
areal_af_polaer_rose.pdf
Opgaver:
Section 13.4 true/false study guide, s. 1025.
Section 13.4:
Udregn areal af område afgrænset af polære kurver: 1, 3,
4.
Udregn volume af legeme vha. planintegralet i polære koord.: 9,
11 (regnes først) samt 29, 33 (mere udfordrende).
Skift til polære koordinater i planintegrale: 13, 15.
Section 13.3:
Udregn volumen af diverse legemer: 29, 35.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Section 13.6 i E&P.
Forelæsning: Gennemgang af Section 13.6 i
E&P. Emnet er tripelintegraler (rumintegraler).
Tilhørende pencasts: volumen_polaer_integration.pdf
Opgaver:
Section 13.6, true/false study guide, s. 1045.
Section 13.6:
Udregn tripelintegraler: 1, 3, 7, 9.
Find volumen/massemidtpunkt vha. tripelintegraler: 17, 23,
31.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i MN
Forelæsning: Introduktion til nyt emne; komplekse
tal. Gennemgang af afsnit 1.1, 1.2 og 1.3 i MN
Opgaver:
Fra MN (bemærk facitliste på side 373)
MN §1.1 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1,
5, 7, 9, 11, 13.
MN §1.1 - Potensregneregler: 15, 17.
MN §1.2 - Geometrisk fortolkning af komplekse tal: 3, 7.
MN §1.3 - Polær form af komplekse tal: 5, 7.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Afsnit 1.4 i MN
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 1.4 vedrørende
den komplekse eksponentialfunktion.
Opgaver:
MN §1.4 - Udtryk komplekst tal på formen a+ib: 1.
MN §1.4 - Udtryk komplekst tal på polær form: 3.
MN §1.4 - Polær form af komplekse tal: 5.
MN §1.4 - Den komplekse eksponentialfunktion: 7, 8, 9,
10 & 11.
MN §1.4 - Trigonometriske identiteter: 12, 13.
Afleveringsopgaver:
Materiale: Afsnit 2.2 og 2.3 i MN
Forelæsning: Gennemgang af afsnit 2.2 og 2.3 om
hhv. separable og lineære første ordens differentialligninger.
Opgaver:
MN §2.2 -- separable diff. ligninger: 1, 3, 5.
MN §2.2 -- løsning af separable diff. ligninger: 7, 9, 10.
MN §2.2 -- begyndelsesværdiproblemer: 17, 19
MN §2.3 -- lineære diff. ligninger: 1, 3, 5.
MN §2.3 -- løsning af lineære diff. ligninger: 7, 10, 13.
MN §2.3 -- begyndelsesværdiproblemer: 17.
Afleveringsopgaver:
Materiale: MN §4.1-§4.3.
Forelæsning: Emnet er anden ordens
differentialligninger: MN §4.1-§4.3.
Opgaver:
MN §4.2 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 1, 3,
5, 7.
MN §4.2 - Løs begyndelsesværdiproblem: 13, 15, 17.
MN §4.2 - Lineær uafhængighed: 27, 29.
MN §4.3 - Den karakteristiske ligning: 1, 3, 5, 9.
MN §4.3 - Find fuldstændig løsning til diff. lign.: 11.
MN §4.3 - Løs begyndelsesværdiproblem: 21, 23, 25.
Afleveringsopgaver:
Materiale: MN §4.4 og §4.5.
Forelæsning: Gennemgang af afsnittene 4.4 og 4.5
i MN vedrørende inhomogene anden ordens differentialligninger og
superpositionsprincippet.
Opgaver:
MN §4.4 -- Løs inhomogen diff. lign: 9, 11, 13, 15
og 17.
MN §4.5 -- Brug superpositionsprincippet: 1, 2
MN §4.5 -- Bestem den fuldstændige løsning: 3 og 5.
Afleveringsopgaver:
Selvstudiet omhandler Taylorpolynomier. Program samt opgaver kan findes her.
Selvstudiet giver en perspektivering på materialet i E&P, kapitel 12. Program samt opgaver kan findes her.
Selvstudiet viser en anvendelse af planintegralet til udregning af masse og massemidtpunkt. Program samt opgaver kan findes her.
selvstudiet omhandler anvendelser af 2. ordens differentialligninger. Program samt opgaver kan findes her.
Ved alle selvstudiegange skal I arbejde i jeres grupperum (der er ikke nogen forelæsning).
Tryk her for at downloade Maple-arket Taylor.mw. I kan installere Maple via https://tools.ist.aau.dk/ (screencast 1 viser hvordan - tryk her for at gå til Maple-centret).
Tryk her for at gå til Matlab-centret.
Regn opgaverne i den angivne rækkefølge. Vedr. opgave 6 nedenfor: De numeriske beregninger kan udføres på lommeregner (eller i Maple/Matlab). Det samme gælder den sidste opgave, Opgave A.
Læs Section 4.9 (fra s. 281) i Saff et al. Regn nedenstående opgaver.
Exercises Section 4.4 (p. 247): 9, 11, 13, Section 4.9 (p. 290): 1, 2, 3, 5, 7.
Denne gang indeholder også repetition fra lineær algebrakurset. En reel funktion/afbildning har en definitionsmængde (engelsk: domain), vi skriver $f:D\to \mathbf{R}$. I opgaverne her er $D$ en delmængde af $\mathbf{R}$:
Denne gang drejer det sig om tretrinsreglen for en funktion $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$. Tretrinsreglen er en blanding af en definition af den afledte $f'(x_0)$ og en opskrift på at finde $f'(x_0)$:
Opgave:
Funktionen $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ har funktionsudtryk(funktionsforskrift) $f(x)=4x^2$. Udregn $f'(2)$ ved at bruge tretrinsreglen. Tegn en graf for $f$ og indtegn $x_0$, $f(x_0)$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$ og sekantlinjer for $x_0=2$ og $h=2$, for $h=1$ og for $h=-1$. Udregn differenskvotienten for de tre værdier af $h$.
Vink: Her er en sekantlinje (for en anden funktion): http://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-calculus.svg
Bemærk: Emnerne integraler i cylinder- og sfæriske koordinater samt den binome ligning indgår ikke længere i calculus eksamenspensum. Man kan derfor se bort fra opgaver vedr. disse emner i det nedenstående. Specifikt: Testsæt 1 opg. 9, juni 2011 opg. 9, august 2011 opg. 1 og 5, juni 2012 opg. 9, juni 2013 opg. 4.
Vi anvender følgende undervisningsmateriale:
Complex numbers:
Differential equations:
Så er Matematik-cafe lige noget for dig. Det kører med jævne mellemrum på alle tre campuser (tid og sted fremgår nedenfor). Det er et ekstra tilbud om matematikhjælp et par timer, hvor en hjælpelærer er klar til at forklare, hvordan du kommer videre i den opgave, du gik i stå med til sidste opgaveregning. Det kræver blot, at du tilmelder dig ved at sende en email til hjælpelæreren senest to dage før den planlagte dato. Hvis hjælpelæreren ikke har modtaget nogen email på dette tidspunkt, aflyses Matematik-cafe uden varsel. Du kan altså kun regne med at få hjælp, hvis du har sendt en email rettidigt og fået svar på denne! I emailen bedes du kort beskrive, hvad du har brug for hjælp til (typisk en bestemt opgave), uden at det behøver være en lang mail.
Bemærk: Dette er et ekstra tilbud om matematik-hjælp ud over den almindelige studietid, så det er absolut ikke en gyldig undskyldning for ikke at deltage i andre kursusaktiviteter og projektarbejdet.
På grund af Covid-19 er lektiecaféen nu digital. Man skal skrive til dhaug16@student.aau.dk som beskrevet nedenfor. Danni har så mulighed for at hjælpe torsdage 16:30–18:30. Dette kan for eksempel foregå på Discord.
Det er vigtigt, at man er så konkret som muligt, når man skriver til Danni, så han har mulighed for at forberede sig inden lektiecaféen.
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):
De mulige datoer ved bekræftet email er (opdateres løbende):
Eksamen afholdes som en digital stedprøve. Det vil sige, at man skal møde ind ligesom for almindelige skriftlige eksamener, men at eksamenssættet skal besvares online i Moodle.
Alle studerende skal selv medbringe en computer med internetadgang, men det er kun tilladt at bruge DigitalEksamen og Moodle – digitale noter er ikke tilladt. For at undgå snyd, skal programmet ITX-Flex være slået til under eksamen. Dette skal installeres på forhånd; hvordan kan ses i AAU's officielle vejledning.
Det anbefales at benytte én af følgende browsere til at besvare eksamenssættet i Moodle: Chrome, Firefox, Opera eller Safari. Det er principielt muligt at besvare sættet i Internet Explorer eller Edge, men spørgsmålenes layouts kan være uhensigtsmæssige.
Ved eksamenens begyndelse skal du logge på både DigitalEksamen og ITX-Flex. Her findes et link til Moodle, hvor selve besvarelsen foregår.
I Moodle skal du vælge mellem et dansk eller engelsk eksamenssæt – dette sprog kan kun vælges én gang. Vælg gerne sprog inden eksamen, så du er klar på dagen. Når sproget er valgt, låses det tilsvarende eksamenssæt op ved eksamenens begyndelse. Besvar spørgsmålene som til enhver anden multiple-choice-prøve.
Når du er færdig med din besvarelse, skal du først aflevere i Moodle. Herefter skal du hente én af formularerne, der ligger under fanen “Eksamensopgave” i DigitalEksamen/ITX-Flex. Denne skal udfyldes med navn og studienummer og afleveres i DigitalEksamen. Dette er vigtigt, da din besvarelse ellers ikke kan bedømmes. Når besvarelsen i Moodle lukker, har du yderligere 10 minutter til at aflevere i DigitalEksamen.
Bemærk, at der kun kan afleveres én gang i Moodle. Når en besvarelse er indsendt, kan den ikke ændres. Desuden afleveres alle påbegyndte besvarelser automatisk i Moodle, når eksamenen slutter.
Det er tilladt at bruge håndskrevne, udskrevne eller kopierede noter, samt lærebøger.
Det er ikke tilladt at bruge elektroniske hjælpemidler. Det er heller ikke tilladt at bruge andre internetsider end DigitalEksamen og prøvesiden i Moodle.
For mere information omkring eksamen og de gældende regler, henvises til de retningslinjer, som kan findes på Moodle-rummet for eksamener på første studieår.
Pensum til eksamen er under menupunkter "Pensum" og opgaverne til eksamen vil falde indenfor dette. Det er en god ide at komme igennem hele pensum ved at bruge oversigterne fra kursusgangene.
Eksempel: Opgaverne om krumning er inddelt i:
Overvej de overordnede principper.
Hvilke emner hænger sammen med andre/bygger på andre. Lav en oversigt for dig selv og/eller tal om det i gruppen.
Husk True/False.
Brug disse opgaver til at gennemskue detaljer i pensum.
Regn så eksamensopgaver - formål: At se, hvordan vi formulerer opgaver. At øve dig i de forskellige versioner af Multiple Choice. OBS: Eksamensopgaver, som ikke er Multiple Choice, kan sagtens være relevante. Den eneste forskel er, hvordan man har mulighed for at svare.
Der er mulighed for at få hjælp gruppevist af hjælpelærere i perioden op til eksamen. Dette er organiseret i MS Teams hvor I tilmelder jer med den kode, I finder på jeres kursusside i Moodle.
Der er hjælp til rådighed kl. 9:00–16:30 de fem dage op til eksamen inkl. weekend. Dvs. fra og med onsdag den 10. juni til og med søndag den 14. juni.
Denne hjælp består af spørgetid, hvor man kan stille spørgsmål indenfor kurset og få hjælp til konkrete opgaver. Der tages udgangspunkt i de gamle eksamensopgaver, som er tilgængelige her på siden og det anbefales at man regner så mange som muligt på forhånd, så man ved, hvor man har problemer.
Inde i Teamet har I selv mulighed for at oprette en ny kanal ved at klikke på “More”/“Mere” (de tre prikker ved Teamets navn) og vælge “Add channel”/“Tilføj kanal”. Hver gruppe bedes oprette en og kun en kanal navngivet med studieretning og gruppenr. f.eks. “MATØK - B306”. Når man har brug for hjælp går man ud i kanalen “General” og skriver i chatten: “Hjælp @MATØK - B306”. Ved at bruge “@” opstår der et link direkte til gruppens kanal som hjælpelæreren så kan trykke på når vedkommende har tid til at hjælpe.
I løbet af perioden varierer bemandingen efter hvornår vi forventer behovet er størst, så ventetiden kan variere en del. Sørg gerne for at forberede jer i god tid, så I ikke at blive fanget af lang kø til hjælpelærerne sidste dag før eksamen.