Math101, 2018 efterår

Introduktion

Har du altid kæmpet med at forstå matematik eller aldrig opnået den fornødne rutine i at udføre basale matematiske manipulationer, så er her muligheden for at gøre noget ved det. Math101 er en aktivitet for dig, som vil gøre en ekstra indsats for at få de basale matematiske færdigheder, som matematikkurserne på første studieår forudsætter, på plads.

Måske er du i tvivl om, hvorvidt kurset er noget for dig. Så kan du her finde en test som du gerne skal være i stand til at gennemføre uden brug af hjælpemidler og stort set uden fejl. Du kan finde en facitliste her. Har du mere end et par fejl, eller tager det dig mere end to timer at gennemføre testen, så bør du, hvis du samtidig er motiveret for at arbejde med dine basale matematiske færdigheder, følge aktiviteten Math101. Har du brug for et testsæt mere kan du finde et her. Det er lidt sværere end det andet og uden facitliste.

Math101 er planlagt således, at både studerende med A-niveau og B-niveau fra gymnasiet kan følge det. I Aalborg består aktiviteten af 9 kursusgange for alle. I Esbjerg og København vil aktiviteten bestå af 7 gange, hvor de 5 er fælles og to gange er opdelt i en A-niveau og en B-niveau indgang. I Aalborg afholdes Math101 på dansk og engelsk, mens det i Esbjerg og København kun afholdes på engelsk. En del af kursusmaterialet, der benyttes i Aalborg, vil dog også være på engelsk.

Kursusmateriale

I Aalborg findes kursusmaterialet på den tilhørende Moodle-side, mens aktiviteterne i Esbjerg og København følger planen her på siden.

Beståelseskriterier

Dette kursus beståes ved aktiv deltagelse. Med aktiv deltagelse menes, at man højst er fraværende ved én af de syv kursusgange.

Kursusplan

Kursusgang Overskrift Indhold Mål
1 Regning med tal Introduktion til talmængder. Specielt de rationale og irrationale tal er i fokus. Regningsarternes hierarki, potenser, rødder, brøker.
  • De studerende skal have en opfattelse af at brøker er tal og ikke bare regnestykker.
  • De studerende skal introduceres til irrationale tal som tal og ikke bare som noget der kan regnes ud hvis man gider.
  • De studerende skal trænes i at kunne angive et eksakt resultat som er så reduceret som muligt.
  • Det skal ikke være overraskende at $$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
2 Reduktion Reduktion af udtryk med en eller flere ubekendte. Herunder brug af kvadratsætningerne og faktorisering.
  • Har de studerende fanget ideen med de irrationale tal fra 1. kursusgang burde introduktionen af variable være lige til. Denne kursusgang er der derfor også mulighed for at sætte fokus på den hastighed hvormed basale manipulationer udføres.
3 Løsning af ligninger Løsning af 1. og 2. grads ligninger.
  • 1. og 2. grads ligninger med hel tallige koefficienter skal kunne løses hurtigt.
  • 1. og 2. grads ligninger med rationale koefficienter skal kunne løses.
  • 1. grads ligninger med irrationale koefficienter skal kunne løses.
4 Funktioner Funktioner og inverse funktioner
  • De studerende skal kende $x^2$, trigonometriske funktioner og eksponentialfunktionen (exp).
  • De studerende skal kunne anvende de inverse funktioner til løsning af simple ligninger.
  • De studerende skal have kendskab til eksakte værdier for de trigonometriske funktioner.
5A Differential- og integralregning Regneregler for differentiation og integration
  • De studerende skal med stor sikkerhed kunne differentiere og integrere summer, produkter og kvotienter af simple funktioner.
  • De studerende skal med stor sikkerhed kunne differentiere "simple" sammensatte funktioner.
  • De studerende skal med stor sikkerhed kunne udføre integration ved substitution i "simple" situationer.
5B Differentialregning Regneregler for differentiation
  • De studerende skal være fortrolige med begrebet differentialkvotient.
  • De studerende skal med stor sikkerhed kunne differentiere summer af de simple funktioner.
  • De studerende skal kunne løse simple optimeringsproblemer.
6A Differentialligninger Løsning af lineære differentialligninger
  • De studerende skal med stor sikkerhed kunne løse simple lineære differentialligninger så som $y' = ky$.
  • Lineære differentialligniger af mere generel karakter skal også kunne løses.
6B Integralregning Regneregler for integration
  • De studerende skal kunne udregne både bestemte og ubestemte integraler af simple funktioner, samt fortolke bestemte integraler som arealer mellem funktioner.
  • De studerende skal for ubestemte integraler kunne bestemme integrationskonstanten ud fra en begyndelsesbetingelse.
7 Opgaveregning Opgaveregning
  • Der laves et opgavesæt som de studerende skal regne denne gang som en slags prøve.

Materiale

Tryk på "Kursusgang 1" for at se materialet til kursusgang 1. Og tilsvarende for de andre kursusgange.

Opgaver

Tryk på "Kursusgang 1" for at se opgaverne for kursusgang 1. Og tilsvarende for de andre kursusgange.

Opgave 1. Udregn følgende tal:
  1. $3 \cdot 2 - \frac{15}{3}+\frac{8}{4}-4$
  2. $-6^2$
  3. $(-6)^2$
  4. $3 \cdot (5-7)-2+3 \cdot 4-3 \cdot (6-9)$
Opgave 2. Udregn følgende tal:
  1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{3}$
  2. $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{8}$
  3. $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}$
  4. $\frac{3}{4}-\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4}$
  5. $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$
  6. $6 \cdot \frac{2}{5}$
  7. $6 : \frac{2}{5}$
  8. $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}-\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$
  9. $\frac{1}{4} +2 \cdot \frac{4}{16}$
Opgave 3. Udregn følgende tal:
  1. $(\sqrt{4})^2$
  2. $(\sqrt{2})^2$
  3. $(-\sqrt{2})^2$
  4. $(\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$
  5. $3\sqrt{8}+\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})$
  6. $\frac{2\sqrt{14}+4\sqrt{63}}{\sqrt{2((2\sqrt{2})^2+10}}$
Opgave 4. Omskriv til potenser med grundtal 2 og 3:
  1. $3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-3}$
  2. $\frac{3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-4}}{3^3 \cdot 3^{-6}}$
  3. $\frac{(\frac{3}{4})^3 \cdot 2^4 \cdot (3^{-2})^3}{3^{-3} \cdot 2^{10}}$
  4. $3^4 \cdot 6^2 \cdot 12^3 \cdot 6^4$
  5. $\frac{2^3 \cdot 6^3 \cdot 12^3 \cdot 3^{-8}}{4^2 \cdot 9^3}$

Opgave 5. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Reducer følgende udtryk:
  1. $3x+5y-2xy+7x-2xy+2y$
  2. $3x^2+3x+4y-3x+2y+y^2$
  3. $2x^2+3xy-yx+x^2$
  4. $3x(x-1)-2(1+x^2)$
  5. $(2+x)(x-1)-4(x-1)$
  6. $x(2x-1)-(3x-2)(x-1)$
  7. $(x-1)(1-\frac{1}{x})+2(1-\frac{x}{2})$
Opgave 2. Udregn følgende udtryk og reducer
  1. $(x+3)^2$
  2. $(4x-5)^2$
  3. $(a-2)^2-a(a-1)$
  4. $(s-1)(s+1)+1$
  5. $(x+\sqrt{3})^2-\sqrt{3}(x+2\sqrt{3})$
  6. $(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})-\sqrt{6}(x-\sqrt{24})$
Opgave 3. Reducer følgende brøker
  1. $\frac{9a^2b^5}{3(ab)^3}$
  2. $\frac{6a^3b^{-4}}{(2a^2b)^2}$
  3. $\frac{2x^{-4}y^3}{(2y^2x)^{-2}}$
  4. $\frac{(x+3)^2}{2x^2+6x}$
  5. $\frac{4x^2-9}{4x^2+9-12x}$
  6. $\frac{2x^2+18+12x}{x^2+3x}$
Opgave 4. Afgør om hvert af følgende udsagn er sand eller falsk
  1. $\frac{1}{1+x}=\frac{2}{2+x}$
  2. $\frac{\frac{1}{b}+1}{1-\frac{a}{b}}=\frac{a+b}{b-a}$
  3. $\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{b}{a}+1}=\frac{a}{b}$
  4. $\frac{1}{1+x}=1+\frac{1}{x}$

Opgave 5. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Løs ligningerne:
  1. $8x+2=26$
  2. $-3x-5=4$
  3. $-6x+7=-29$
  4. $8x+11=5$
  5. $-7x+4=-8$
Opgave 2. Løs ligningerne:
  1. $3x+7=-2x+2$
  2. $-3x-4=-x+3$
  3. $3(x-4)+2=2(x+1)$
  4. $-2(x-1)+2=3x+2(x-7)$
Opgave 3. Løs ligningerne:
  1. $3(x-2)+2=3x-8$
  2. $-(x+1)+2x=2(x-1)-(x-1)$
  3. $4(x+1)=2x(\frac{1}{x}+1)$
Opgave 4. Løs ligningerne:
  1. $\frac{2}{3}(x-\frac{5}{2})=\frac{3}{6}$
  2. $\frac{4}{3}(\frac{3}{5}x-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}(x-\frac{2}{5})$
  3. $\frac{3}{8}(4x-2)=-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{4})$
  4. $\frac{1}{7}(\frac{2}{3}x-\frac{3}{3})-\frac{3}{7}x=-\frac{1}{2}(x-5)$
  5. $\sqrt{2}x+4=8$
  6. $\pi (x-1)=\sqrt{2}x+3$
  7. $\sqrt{2}(2\sqrt{2}x-\sqrt{8})=2x+1$
Opgave 5. Løs ligningerne:
  1. $x^2=36$
  2. $x^2=-81$
  3. $(x-1)(x+2)=0$
  4. $x^2+x-1=0$
  5. $2x^2+3x+1=0$
  6. $x^2+4x+3=0$
Opgave 6. Løs ligningerne:
  1. $x^2-3x-1=-2$
  2. $-2x^2+3x+1=0$
  3. $-3x^2+3x-2=8$
  4. $-x^2+4x-2=2$
  5. $-2x^2+3x-4=2(x-1)$

Opgave 7. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Udregn følgende tal:
  1. $2^5, \quad3^4, \quad 3^3, \quad 4^2$
  2. $\log_2 2^5,\quad \log_3 3^4,\quad \log_3 3^4,\quad \log_4 4^{-2}$
  3. $\log_2 (256),\quad \log_{10}(1000),\quad \log_2 (\frac{1}{8}),\quad \log_{10}(0.00001)$
Opgave 2. Udregn:
  1. $\log (40)+\log(25)$
  2. $\log(40)-\log(4)$
  3. $\log(2)+\log(30)-\log(6)$
  4. $10^{\log(7)},\quad 10^{1+\log(3)}, \quad 10^{2\log{4}}, \quad 10^{-\log{7}}$
  5. $\ln(e^{5}), \quad e^{\ln(9)},\quad \ln(e^3)-\ln(e)$
Opgave 3. Løs ligningerne:
  1. $\ln (x)=4$
  2. $e^x=5$
  3. $3 \log(x)=\log(27)$
  4. $\ln(2x-4)=\ln(8)+\ln(4)$
Opgave 4. Udregn:
  1. $\sin (\frac{\pi}{4}) + \cos (\frac{\pi}{4})$
  2. $\tan(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3})$
  3. $\frac{\sin (\frac{\pi}{6}) + \cos (\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{4\pi}{6})}$
  4. $\frac{\cos (\frac{\pi}{6}) + \sin (\frac{\pi}{2})}{\tan(-\frac{\pi}{3})}$
Opgave 5. Bestem én løsning til ligningerne:
  1. $\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $\cos(x-\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
  3. $2 \sin^2(x)+5\sin(x)+2=0,$ substituter $u=\sin(x).$ Find først $u$

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Differentier følgende funktioner:
  1. $f(x)=3x^7+2x^4-3x^2$
  2. $f(x)=2x^5+3x^{\frac{3}{2}}-2x^{-2}$
  3. $3 \sqrt{x}+\frac{1}{x}$
  4. $3e^{2x}+3^x$
Opgave 2. Brug produkt og kvotient reglen til at bestemme $f'(x)$:
  1. $f(x)=3xe^x$
  2. $f(x)=2x^2\sin(x)$
  3. $f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x-1}$
  4. $f(x)=\frac{2x^5-2x^3+1}{x^4-2x}$
Opgave 3. Differentier følgende sammensatte funktioner - Lad være med at reducere udtrykket:
  1. $f(x)=\sqrt{x^2+2x-1}$
  2. $f(x)=(x^3+2x)^{\frac{3}{2}}$
  3. $f(x)=\sin(x^2+1)$
  4. $f(x)=\cos ^2 (3x^3+x-1)$
  5. $f(x)=\cos ^2 ((x-1)^5)$
Opgave 4. Udregn de ubestemte integraler:
  1. $\int x^3+2x^2-1 dx$
  2. $\int \sin(x)+e^x dx$
  3. $\int \ln(x)+e^x dx$
Opgave 5. Udregn ved substitution de ubestemte integraler:
  1. $\int 2x \sin (x^2-1)$
  2. $\int (3x^2+2) \cos(x^3+2x+7) dx$
  3. $\int x e^{3x+1}dx$
  4. $\int (x+1)\sin (x-3)dx$

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Differentier følgende funktioner:
  1. $f(x)=3x^7+2x^4-3x^2$
  2. $f(x)=2x^5+3x^{\frac{3}{2}}-2x^{-2}$
  3. $3 \sqrt{x}+\frac{1}{x}$
  4. $3e^{2x}+3^x$
  5. $\frac{x^2}{3}-5\sqrt{x}$
  6. $e^{3x}+\frac{1}{3}\ln(x)$
  7. $7\sqrt{x}-\ln(x)+\frac{1}{x^2}$
Opgave 2.
  1. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=x+5$, som opfylder $F(2)=4$
  2. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=-\frac{2}{x}, \quad x>0$, som opfylder $F(e)=1$
  3. Bestem den stamfunktion til funktionen $f(x)=4e^{2x}$, som opfylder $F(\frac{1}{2})=e$
Opgave 3. Udregn de ubestemte integraler:
  1. $\int x^3+2x^2-1 dx$
  2. $\int \frac{2}{x}+e^x dx$
  3. $\int \ln(x)+e^x dx$
  4. $\int \frac{2}{6\sqrt{x}}+5x^{-3}dx$

Opgave 4. Et $300$ m langt hegn skal indhegne et rektangulært område. Bestem sidelængderne i rektanglet, så arealet bliver størst muligt.

Opgave 5. Et $300$ m langt hegn skal indhegne et rektangulært område. Den ene side ligger ned til en å, så der skal kun bruges hegn på de tre sider. Bestem sidelængderne i rektanglet, så arealet bliver størst muligt.

Opgave 6. En åben kasse skal have kvadratisk bund og et rumfang på $5000 cm^3$. Bestem siden i bunden og kassens højde, så overfladen bliver mindst mulig.

Opgave 7. Et rektangel er indskrevet i en halvcirkel med radius 12 m. Bestem længde og bredde,så rektanglet får så stort et areal som muligt.

Opgave 8. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1. Undersøg om funktionen $f$ er løsning til den givne differentialligning.
  1. $f(x)=\frac{1}{3}x^3-6$ og $y'=x^2$
  2. $f(x)=x-1$ og $y'=\frac{y+1}{x}$
  3. $f(x)=2 e^{x}$ og $\frac{y'}{y^2}=\frac{1}{2} e^{-x}$
  4. $f(x)=x+\frac{1}{x}$ og $xy'=2x-y$
  5. $f(x)=4 e^{3x}-e^{2x}$ og $y'-2y=e^{2x}$
  6. $f(x)=\ln (e^{x} + e - 1)$ og $y'=e^{x-y}$
Opgave 2. Differentialligningen har en løsning hvis graf går gennem det oplyste punkt. Bestem en ligning for tangenten gennem punktet
  1. $y'=\frac{x+2y}{3}$, $(1,3)$
  2. $y'=x-y^2$, $(3,5)$
  3. $y'=(2x+1)y^2$, $(0,-1)$
  4. $y'=3\sqrt{x}\sqrt{y}$, $(4,1)$
Opgave 3. Bestem løsningen til differentialligningen gennem punktet
  1. $y'=6y$, og $(\ln (2),100)$
  2. $y'-y=0$, og $(\ln (4),28)$
  3. $y'=-3y$, og $(3,8)$
  4. $y'=0,02y$, og $(0,41000)$
  5. $y'=32-8y$, og $(3,10)$
  6. $y'=-0,1y+25,4$, og $(0,180)$
Opgave 4. Bestem den fuldstændige eller partikulære løsning til følgende lineære differentialligninger
  1. $y'+3x^2y=6x^2$
  2. $y'+2xy=0$, $(1,e^{-1})$
  3. $xy'+y=\frac{1}{x}$, $(1,4)$

Opgave 5. Bestem konstanterne $a$ og $b$ så funktionen $f(x)=ax+b$ er løsning til differentialligningen $y'-y=2x-3$.

Opgave 6. Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.

Opgave 1: Undersøg om $F(x)$ er stamfunktion til $f(x)$
  1. $F(x)=x\ln (x) - x$, $f(x)=\ln (x)$
  2. $F(x)=2x\sqrt{x} - x$, $f(x)=3\sqrt{x}-1$
Opgave 2: Find en stamfunktion til hver af nedenstående funktioner
  1. $f(x)=4x+5$
  2. $f(x)=x^2+2x-9$
  3. $f(x)=0$
  4. $f(x)=2x-\frac{3}{\sqrt{x}}$
Opgave 3: Bestem følgende ubestemte integraler
  1. $\int 4x^3 + \frac{8}{x^2} dx$
  2. $\int 7 e^x-e^{7x} dx$
  3. $\int e^{2x}+\frac{4}{5\sqrt{x}} dx$
Opgave 4: Bestem stamfunktionen $F(x)$ som opfylder betingelsen
  1. $f(x)=3x^3+2x^{-2} \mbox{ , } F(1)=1$
  2. $f(x)=-\frac{7}{x}+\sqrt{x} \mbox{ , } F(0)=4$
  3. $f(x)=e^x+2e^{-2x} \mbox{ , } F(\ln (2))=1$
Opgave 5: Udregn følgende bestemte integraler
  1. $\int _{-3}^{1} x^2 -7x +1 dx$
  2. $\int _{1}^{4} x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}} dx$
  3. $\int _{0}^{1} e^x dx$

Opgave 6: Beregn arealet af det område der er afgrænset af grafen for funktionen $f(x)=9-x^2$ og førsteaksen.

Opgave 7: Bestem arealet af det område, der er afgrænset af graferne for $$f(x)=\frac{1}{4}x^2 - 2\quad \mbox{ og } \quad g(x)=x+1.$$

Opgave 8: Find en makker som også er færdig med ovenstående opgaver. Find selv på $2 \times 5$ opgaver af samme type som dem I lige har regnet og regn så hinandens opgaver. Man skal selv kunne regne opgaverne for man skal kunne hjælpe hvis makkeren ikke kan regne dem.